Расходимость ряда.

[toreto]

Рассматриваем ряд $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{(1-\varepsilon)^2}(1-\varepsilon)\sqrt{2\ln n}}$, где $\varepsilon>0$.

Правильно ли я доказал расходимость?

Общий член ряда $a_n= \dfrac{1}{n^{(1-\varepsilon)^2}(1-\varepsilon)\sqrt{2\ln n}}$ будем сравнивать с $b_n=\dfrac{1}{n^{(1-\varepsilon+\delta)^2}(1-\varepsilon)}$

Причем выбираем $\delta>0$ такую, что $1-\varepsilon+\delta<1$, то есть $\delta<\varepsilon$

То есть для любого $\delta\in (0;\varepsilon)$ существует $N$ такой, что для всех $n>N$ будет выполняться неравенство $b_n\leqslant a_n$.

Тогда по признаку сравнения из расходимости $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ будет следовать расходимость $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$.

А расходимость $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ связано с тем, что это обобщенный гармонический ряд $\displaystyle\sum\limits_{n=1}\dfrac{1}{n^p}$ при $p<1$.

[Sonic86]

М.б. и правильно, но сильно проще использовать интегральный признак - заодно выкинуть все ненужные константы.
И вообще всегда полезно помнить, когда сходится ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{a_0}\ln^{a_1} n\ln_2^{a_2}n ... \ln_k^{a_k} n}$ для заданных $k,a_0,...,a_k$, где $\ln _1 n = \ln n, \ln_{k+1} n = \ln\ln_k n$. Критерий очень прост и очень силен.

[toreto]

Sonic86 в сообщении #1076219 писал(а):

М.б. и правильно, но сильно проще использовать интегральный признак - заодно выкинуть все ненужные константы.
И вообще всегда полезно помнить, когда сходится ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{a_0}\ln^{a_1} n\ln_2^{a_2}n ... \ln_k^{a_k} n}$ для заданных $k,a_0,...,a_k$, где $\ln _1 n = \ln n, \ln_{k+1} n = \ln\ln_k n$. Критерий очень прост и очень силен.

Спасибо. А интегральный признак для такого меньшего ряда? $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(1-\varepsilon)\sqrt{2\ln n}}$?

[grizzly]

toreto в сообщении #1076218 писал(а):

где $\varepsilon>0$

Насколько больше?

[Sonic86]

toreto в сообщении #1076229 писал(а):

Спасибо. А интегральный признак для такого меньшего ряда? $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(1-\varepsilon)\sqrt{2\ln n}}$?

Зачем? сразу!
И выкиньте Вы константы уже.

[toreto]

grizzly в сообщении #1076232 писал(а):

toreto в сообщении #1076218 писал(а):

где $\varepsilon>0$

Насколько больше?

Точно, нужно было сказать, что $\varepsilon <2$

[Sonic86]

Вы хотели сказать $\varepsilon<1$? А то при $\varepsilon = 1$ ряд вообще не определен.

[toreto]

Sonic86 в сообщении #1076263 писал(а):

Вы хотели сказать $\varepsilon<1$? А то при $\varepsilon = 1$ ряд вообще не определен.

Да, вы правы, меньше 1.
Просто интересуют маленькие $\varepsilon$,ноги растут из теории вероятностей topic103134.html