Функциональное уравнение f(t) - f(t-1) = cos(w t)

[Diom]

Имеется следующее уравнение, не претендующее на единственность решения:

\[ f\left(t\right) - f\left(t-1\right) = \cos(\omega t) \]

Задача заключается чтобы подыскать любую функцию f удовлетворяющую ему, но желательно чтобы она имела максимально простой вид (желательно чтобы выражалась также через тригонометрические функции). Но я что-то не могу сообразить с какой стороны к этой задаче подойти.

[незваный гость]

Ну определите её произвольным образом на интервале $[0,1[$, а потом определяйте через Ваше уравнение. $f(t)-f(t-n) = \sum_{k=1}^n \cos(\omega(t-(k-1)))$. Последняя сумма к тому же хорошо считается, правда придётся рассматривать два случая: кода $\frac{\omega}{2\pi}$ — целое, и когда нет.

Можно, разумеется, наложить ограничения типа непрерывности, дифференцируемости, и т.п. Только не ожидайте переодичности (при несравнимых $\frac{\omega}{2\pi}$ и $1$).

[maxal]

Для целого $t$ значения $f(t)$ легко выводится:

$$f(t)=(f(t)-f(t-1))+(f(t-1)-f(t-2))+\dots+(f(1)-f(0))+f(0)=$$

$$=f(0)+\cos(\omega)+\cos(2\omega)+\dots+\cos(t\omega)=f(0)+\frac{\sin\frac{(2t+1)\omega}{2} - \sin\frac{\omega}{2}}{2\sin\frac{\omega}{2}}$$

для $\omega\ne 2\pi k,$ либо просто $f(t) = f(0) + t$ для $\omega= 2\pi k,$ где $k$ - целое число.

Для нецелых $t$ функцию $f(t)$ можно доопределить, например, по непрерывности.

Добавлено спустя 10 минут 17 секунд:

Кстати, функцию можно выразить через полиномы Чебышёва 2-го рода:

$$f(t) = f(0) - \frac{1}{2} + \frac{\sin\frac{(2t+1)\omega}{2}}{2\sin\frac{\omega}{2}} = f(0) - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}U_{2t}\left(\cos\frac{\omega}2\right).$$

[Diom]

Это как раз то что нужно. Огромное спасибо
Не могли бы вы чуть подробнее пояснить как осуществился переход:

$$=f(0)+\cos(\omega)+\cos(2\omega)+\dots+\cos(t\omega)=f(0)+\frac{\sin\frac{(2t+1)\omega}{2} - \sin\frac{\omega}{2}}{2\sin\frac{\omega}{2}}$$

[maxal]

Diom
Домоножьте (а потом разделите) эту сумму косинусов на $\sin\frac{\omega}{2}$, и произведение каждого косинуса на синус представьте в виде разницы синусов.
Или же представьте каждый косинус как действительную часть экспоненты чисто мнимного числа, а сумму экспонент сверните по формуле суммы геометрической прогрессии.

[Diom]

Благодарю. Я как то об этом не подумал

[Diom]

Решил не заводить отдельную тему. Не подскажете существует ли решение данного уровнения в символьном виде относительно x (решения обращающие \sin\left(\pi x \right) в 0 не рассматриваются):

$$\sin\left(n\pi x\right)- \frac{n}{\sqrt 2 }\sin\left(\pi x \right) = 0$$

[maxal]

оно сводится к алгебраическому уравнению относительно $y=\cos(\pi x)$:

$$U_{n-1}(y) - \frac{n}{\sqrt{2}} = 0$$

Например, для $n=6$ получается уравнение:

$$32 y^5 - 32 y^3 + 6 y - 3 \sqrt{2} = 0$$

которое неразрешимо в радикалах.