Случайное блуждание.

[toreto]

Пусть случайное блуждание $S_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n\xi_i$, где $\xi_i$ независимы в совокупности и $P(\xi_i=a)=p$, а $P(\xi_i=-b)=1-p$, при этом $a,b\in \mathbb{N}$. Найти $P(S_n=x)$

У предположение, что $n+x$ четно, потому нужно, чтобы $\frac{n+x}{2a}$ величин равнялись $a$, $\frac{n-x}{2b}$ величин равнялись $-b$.

Тогда

$$\mathbb{P}(S_n=x)=C_{n}^{\frac{n+x}{2a}}p^{\frac{n+x}{2a}}(1-p)^{n-\frac{n+x}{2a}}$$

Верно ли это?

[--mS--]

Очевидно, нет. Хотя бы потому, что число $\frac{n+x}{2a}$ не собирается, вообще говоря, быть целым.

[toreto]

--mS-- в сообщении #1075907 писал(а):

Очевидно, нет. Хотя бы потому, что число $\frac{n+x}{2a}$ не собирается, вообще говоря, быть целым.

Действительно, но пока что не очевидно как свести к стандартному блужданию с $\xi=\pm 1$? Можете, пожалуйста, подсказать -- с чего начать?

[toreto]

Верно ли будет так?

Обозначим количество значений $\xi_i=a$ за $\alpha$, кол-во значений $\xi_i=-и$ за $\beta$.

Получаем систему:

$\left\{ \begin{array}{rcl} \alpha a-\beta b=x \\ \alpha+\beta=n \\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{rcl} (n-\beta) a-\beta b=x \\ \alpha=n-\beta \\ \end{array} \right.$

$ (n-\beta) a-\beta b=x$

$na-\beta(a+ b)=x$

$\beta(a+ b)=na-x$

$\beta=\dfrac{na-x}{a+b}$

$\alpha=n-\dfrac{na-x}{a+b}=\dfrac{na+nb-(na-x)}{a+b}=\dfrac{nb+x}{a+b}$

$\left\{ \begin{array}{rcl} \alpha=\frac{nb+x}{a+b} \\ \beta=\frac{na-x}{a+b} \\ \end{array} \right.$

$$\mathbb{P}(S_n=x)=C_{n}^{\alpha}p^{\alpha}(1-p)^{\beta}}$$

$$\mathbb{P}(S_n=x)=C_{n}^{\frac{nb+x}{a+b}}p^{\frac{nb+x}{a+b}}(1-p)^{\frac{na-x}{a+b}}$$

[--mS--]

Ну да, так. И ещё потребовать от $x$, чтобы эти числа были целыми.

(Оффтоп)

Сводить имело бы смысл к суммированию бернуллиевских случайных величин, а не к простому с.б. К каждому слагаемому прибавить $b$ и поделить его потом на $a+b$.

[toreto]

--mS-- в сообщении #1076000 писал(а):

Ну да, так. И ещё потребовать от $x$, чтобы эти числа были целыми.

(Оффтоп)

Сводить имело бы смысл к суммированию бернуллиевских случайных величин, а не к простому с.б. К каждому слагаемому прибавить $b$ и поделить его потом на $a+b$.

Спасибо!