Полный дифференциал второго порядка неявной функции

[Viktor-Nvrsk]

Здравствуйте!
Для случая одной функции нескольких переменных полный дифференциал второго порядка от неявной функции выглядит так:

$$\\\left[ \frac{\partial^2F}{\partial x_{1}^2}dx_{1}+...+\frac{\partial^2F}{\partial x_{1}\partial x_{n}}dx_{n}+\frac{\partial^2F}{\partial x_{1}\partial y}dy\right]dx_{1}+...+\frac{\partial F}{\partial y}d^2y = 0$$

Я никак не пойму, почему последний член в этом уравнении равен:

$$\frac{\partial F}{\partial y}d^2y$$

Ведь он тоже должен быть производной от полного дифференциала первого порядка, но по $dy$?

[Someone]

Выпишите свою формулу полностью (без многоточий) для случая неявной функции двух независимых переменных, тогда будет понятно, что обсуждать.

[Viktor-Nvrsk]

Вот случай для двух переменных:
Первый дифференциал неявной функции:

$$\frac{\partial F}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial F}{\partial x_2}dx_2+\frac{\partial F}{\partial y}dy = 0$$

Второй дифференциал неявной функции (вот в этом месте я и спотыкаюсь):
$[\frac{\partial^2 F}{\partial x_1^2}dx_1+\frac{\partial F^2}{\partial x_1 \partial x_2}dx_2+\frac{\partial F^2}{\partial x_1 \partial y}dy]dx_1+ [\frac{\partial^2 F}{\partial x_1 \partial x_2}dx_1+\frac{\partial F^2}{\partial x_2^2}dx_2+\frac{\partial F^2}{\partial x_2 \partial y}dy]dx_2+[\frac{\partial^2 F}{\partial x_1 \partial y}dx_1+\frac{\partial F^2}{\partial x_2 \partial y}dx_2+\frac{\partial F^2}{\partial y^2}dy]dy = 0$

[Brukvalub]

Viktor-Nvrsk в сообщении #1075552 писал(а):

Первый дифференциал неявной функции:

$$\frac{\partial F}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial F}{\partial x_2}dx_2+\frac{\partial F}{\partial y}dy = 0$$

Где же здесь дифференциал неявной функции? Это просто полный дифференциал некой функции.

[Viktor-Nvrsk]

Ок!
А как тогда выглядит полный дифференциал неявной функции?

[provincialka]

Ну, наверное, можно отсюда выразить $dy$. Хотя для поиска второго дифференциала это не обязательно. (но вы хоть на него посмотрите)

[Someone]

Viktor-Nvrsk, Вам намекают, что Вы употребляете не тот термин.

Viktor-Nvrsk в сообщении #1075552 писал(а):

$[\frac{\partial^2 F}{\partial x_1^2}dx_1+\frac{\partial F^2}{\partial x_1 \partial x_2}dx_2+\frac{\partial F^2}{\partial x_1 \partial y}dy]dx_1+ [\frac{\partial^2 F}{\partial x_1 \partial x_2}dx_1+\frac{\partial F^2}{\partial x_2^2}dx_2+\frac{\partial F^2}{\partial x_2 \partial y}dy]dx_2+[\frac{\partial^2 F}{\partial x_1 \partial y}dx_1+\frac{\partial F^2}{\partial x_2 \partial y}dx_2+\frac{\partial F^2}{\partial y^2}dy]dy = 0$

Эта формула была бы верна, если бы все переменные ($x_1$, $x_2$ и $y$) были независимыми переменными. Тогда $dx_1$, $dx_2$ и $dy$ были бы независимы от $x_1$, $x_2$ и $y$. А в данном случае $y$ не является независимой переменной, поэтому $dy$ зависит от $x_1$, $x_2$ и $y$. Это приводит к тому, что $d(dx_1)=0$ и $d(dx_2)=0$, в то время как $d(dy)\neq 0$. Поэтому $d\left(\frac{\partial F}{\partial y}dy\right)$, кроме $\frac{\partial^2F}{\partial y^2}dy^2$, содержит ещё один член. Вы его сразу получите, если вспомните формулу дифференциала произведения.

P.S. Вы в своей формуле "квадраты" не на место понавтыкали.

[Viktor-Nvrsk]

Спасибо за разъяснение!
Разобрался!
И в следующий раз Вы не намекайте (не девочки же), а говорите прямо.

PS: Я не студент. Занимаюсь математикой, т.к. мне это интересно.

[provincialka]

Viktor-Nvrsk в сообщении #1075798 писал(а):

И в следующий раз Вы не намекайте (не девочки же), а говорите прямо.

От "девочек": в ПРР нельзя давать полное решение. Поэтому и "намекаем"

[Lia]

Viktor-Nvrsk в сообщении #1075798 писал(а):

И в следующий раз Вы не намекайте (не девочки же), а говорите прямо.

Viktor-Nvrsk, прочитайте, пожалуйста, правила. Обратите внимание, что на форуме не принято приводить полные решения простых учебных вопросов, особенно тех, которые можно и нужно найти в учебнике. Вне зависимости от того, девочка Вы или нет.

[Viktor-Nvrsk]

Lia в сообщении #1075830 писал(а):

Viktor-Nvrsk в сообщении #1075798 писал(а):

И в следующий раз Вы не намекайте (не девочки же), а говорите прямо.

Viktor-Nvrsk, прочитайте, пожалуйста, правила. Обратите внимание, что на форуме не принято приводить полные решения простых учебных вопросов, особенно тех, которые можно и нужно найти в учебнике. Вне зависимости от того, девочка Вы или нет.

Спасибо про напоминание правил!

PS: Армянское радио спрашивают:
— Что такое женская логика?
Ответ:
— Это твердая уверенность в том, что любую объективную реальность можно преодолеть желанием.

[Lia]

Viktor-Nvrsk
Замечание за оффтоп