Задачка на невырожденность матрицы

[deep blue]

Прошу проверить доказательство, не уверен в правильности и простоте второй части.
Докажите, что столбцы вещественной прямоугольной матрицы $A_{nm}$ линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы столбцы матрицы $A_{nm}A_{nm}^T$
Ну пусть матрица $A_{nm}$ вырождена, то поскольку ранг произведения не больше рангов сомножителей имеем: $Rg(A_{nm}A_{nm}^T)<n$ и матрица $A_{nm}A_{nm}^T$ вырождена.
Обратно, пусть матрица $A_{nm}A_{nm}^T$ вырождена, что тогда делать
Примерный вариант:
Если матрица $$ A_{nm}A_{nm}^T=\begin{Vmatrix} a_{ij}=(s_i,s_j) \end{Vmatrix} ​$$​ где $(s_i,s_j)$ скалярное произведение строк матрицы $A_{nm}$ при чем все строки ненулевые
вырождена, то один из столбцов (пускай последний) является ненулевой линейной комбинацией остальных:
$$ a_1\begin{bmatrix} (s_1,s_1) \\ \cdots \\ (s_n,s_1) \end{bmatrix} +\cdots+ a_{n-1}\begin{bmatrix} (s_1,s_{n-1}) \\ \cdots \\ (s_n,s_{n-1}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (s_1,s_n) \\ \cdots \\ (s_n,s_n) \end{bmatrix} \qquad ​$$
И значит по свойству скалярного произведения для некоторых коэффициентов $(a_1,...,a_{n-1})$ имеем систему равенств:
$(s_1,a_1s_1+a_2s_2+\cdots-s_n)=0$
$(s_2,a_1s_1+a_2s_2+\cdots-s_n)=0$
...
$(s_n,a_1s_1+a_2s_2+\cdots-s_n)=0$
Если вектор $a_1s_1+a_2s_2+\cdots-s_n$ не ортогонален всем векторам $s_1,...,s_n$ одновременно, то из $(s_k,a_1s_1+a_2s_2+\cdots-s_n)=0$ для некоторого k следует, что он равен нулю и значит система строк $(s_1,s_2,...s_n)$ линейно зависима (то есть матрица $A_{nm}$ вырождена чтд), но вектор $a_1s_1+a_2s_2+\cdots+s_n$ действительно не ортогонален всем векторам $s_1,...,s_n$ сразу, ибо он по ним раскладывается.

[bot]

deep blue в сообщении #1075805 писал(а):

Докажите, что столбцы вещественной прямоугольной матрицы $A_{nm}$ линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы столбцы матрицы $A_{nm}A_{nm}^T$

Пусть матрица $A$ имеет один ненулевой столбец.

[deep blue]

Извиняюсь, правильно читать так:
Докажите, что строки вещественной прямоугольной матрицы $A_{nm}$ линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы строки матрицы $A_{nm}A_{nm}^T$

[ewert]

deep blue в сообщении #1075805 писал(а):

Обратно, пусть матрица $A_{nm}A_{nm}^T$ вырождена, что тогда делать

Как Вы метко заметили, это -- матрица Грама для строк исходной матрицы: $A\,A^T=G\ \Leftrightarrow\ g_{ik}=(\vec a_k,\vec a_i)$. И если она вырождена, т.е. если $G\vec x=\vec0$, то тем более $(G\vec x,\vec x)=0$. Однако последнее выражение есть в точности $\left\|\sum\limits_{i}x_i\vec a_i\right\|^2$.