Эргодичность поворота окружности с мерой Лебега

[demolishka]

Пусть $\mu$ - нормированная мера Лебега, заданная на борелевской $\sigma$-алгебре $\mathcal{B}$ подмножеств окружности $S^1.$ Пусть $\alpha$ - некоторое иррациональное число. Поворот окружности определяется как $\varphi : S^1 \to S^1$, где $\varphi (\theta) = \theta + \alpha\mod 1.$ Ясно, что мера Лебега инвариантна относительно $\varphi$, т.е. $\mu(\varphi(C))=\mu(C) \ \forall C \in \mathcal{B}.$ Нужно доказать эргодичность меры Лебега, т.е. справедливость утверждения

$$\forall C \in \mathcal{B}\left(\varphi(C)=C \Rightarrow \mu(C)=0 \lor \mu(C)=1\right)$$

Для доказательства используем эквивалентное условие эргодичности:

$$\forall C \in \mathcal{B}\left(\mu(C)>0 \Rightarrow \mu\left(\bigcup\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\varphi^k(C)\right) = 1\right)$$

Пусть $C \in \mathcal{B}$ и $\mu(C)>0$. Тогда для произвольного $\varepsilon \in (0;1)$ найдется ячейка(полуоткрытая дуга) $P$, такая, что

$$\mu(C \cap P) > (1-\varepsilon)\mu(P).$$

Пусть натуральное число $N$ такого, что $N\mu(P) \leq 1$ и $(N+1)\mu(P) > 1.$ Т.е. окружность представляется как $N$ сдвигов ячейки $P$ на величину кратную ее длине(ячейки вида $P_k = P + k\mu(P)$, где $0 \leq k \leq N-1$) плюс кусочек, меньшей длины, чем $P$, обозначим его $R$. В силу иррациональности $\alpha$, орбита всякой точки является всюду плотным множеством. Другими словами, ячейку $P_k$ можно сколь угодно приблизить итерациями ячейки $P$, а кусочек меньшей длины $R$ и вовсе накрыть. Таким образом, имеем неравенство

$$\mu\left(\bigcup\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\varphi^k(C)\right) \geq \sum\limits_{k=0}^{N-1}\mu(C \cap P_k) + \mu(R) \geq (1-\varepsilon)N\mu(P) + 1-N\mu(P)$$

С учетом того, что $\frac{1}{N+1} \leq \mu(P) \leq \frac{1}{N}$, получаем

$$\mu\left(\bigcup\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\varphi^k(C)\right) \geq 1-\frac{\varepsilon}{2},$$

где $\varepsilon$ можно выбрать сколь угодно малым. Утверждение доказано.

Традиционный вопрос: всё ли правильно и можно ли доказать короче?