Задачи по теории групп.

[Orkimed]

Здравствуйте!Помогите разобраться.
Задача 1.Рассмотрим в группе $GL(3, \mathbb{Z})$ подгруппу $H$,порожденную элементами

$$\begin{pmatrix} 0& 1& 0 \\ 1& 0& 0 \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 0& 0& 1 \\ 0& 1& 0 \\ 1& 0& 0 \end{pmatrix}$$

Найдите её центр.
Первую матрицу я обозначил $\sigma$ ,а вторую $\tau$ .
Квадраты $\tau$ и $\sigma$ равны E. $\tau\cdot\sigma$ и $\sigma\cdot\tau$ различны.
Обратные к $\sigma$ и $\tau$ совпадают с ними.
Центр группы - множество элементов данной группы, которые коммутируют со всеми её элементами.Коммутируют,значит $ \varphi\cdot\omega=\omega\cdot\varphi $
А у меня эти два произведения различны.

$$ Z(H) = \left\lbrace e,\tau^{2} ,\sigma^{2} \right\rbrace ? $$

Задача 2.В группе $S_5$ ,рассмотрим подгруппу,порожденную подстановками (235) и (325).Найдите её группу автоморфизмов.

$$ \tau = (235) ; \sigma = (325) $$

$$ \tau^{2} = \sigma; $$

$$ \tau^{3} = e; $$

$$ \sigma^{2} = \tau ; $$

$$ \sigma^{3} = e; $$

$$\tau\cdot\sigma = \sigma\cdot\tau = e; $$

$$ \tau^{-1} = \sigma; $$

$$ \sigma^{-1} = \tau; $$

Автоморфизм есть отображение переводящее группу в себя.
$$ \operatorname{Aut} H = \left\lbrace e,\tau,\sigma,\tau^{2},\sigma^{2},\sigma^{-1},\tau^{-1}\right\rbrace $ правильно?

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

-- 22.11.2015, 13:37 --

Orkimed, запишите все формулы целиком в TeX, а не отдельные греческие буквы.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Sonic86]

Orkimed в сообщении #1075686 писал(а):

Квадраты $\tau$ и $\sigma$ равны E. ...

$$ Z(H) = \left\lbrace e,\tau^{2} ,\sigma^{2} \right\rbrace ? $$

Если $\tau^{2} =\sigma^{2}=e $, то $\left\lbrace e,\tau^{2} ,\sigma^{2} \right\rbrace=?$. (т.е. можно конечно писать $A=\{1;1;1;1;1\}$, но это может ввести в заблуждение)
Ваша группа матриц изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок (это потому что в каждой строке и каждом столбце стоит ровно одна единица, остальные - нолики). Это упрощает задачу.

Orkimed в сообщении #1075686 писал(а):

$$ \operatorname{Aut} H = \left\lbrace e,\tau,\sigma,\tau^{2},\sigma^{2},\sigma^{-1},\tau^{-1}\right\rbrace $ правильно?

Скажите, какая мощность у этой группы? Если Вы думаете, что 7, то соотнесите мощность группы автоморфизмов и мощность исходной группы и подумайте (как они вообще связаны, кстати)? Посмотрите на соотношения, которые Вы нашли.
Ваша группа в этом пункте тоже очевидно изоморфна одной известной группе. Какой?
Насчет того, как искать группу автоморфизмов группы перестановок - см. Каргаполов Мерзляков, где-то в первых главах. Кое-что знает и гугл.

[Orkimed]

У $S_5$ мощность равна 5!,т.е 120.А у моей Aut H она равна 7.Мощность группы автоморфизмов должна быть взаимно проста с группой, для которой ищется автоморфизм.У меня сейчас перед глазами лежит Основы теории групп Каргапалова. Она для меня слишком сложна.Пытался её осваивать.

Цитата:

Ваша группа в этом пункте тоже очевидно изоморфна одной известной группе. Какой?

Единственные "известные группы" для меня - группы $A_n$ и вычетов.

Цитата:

Ваша группа матриц изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок (это потому что в каждой строке и каждом столбце стоит ровно одна единица, остальные - нолики). Это упрощает задачу.

Для меня,честно говоря, нисколько не упрощает дело.

P.S Когда на первом курсе читают теорию групп,аналогии,которые вы приводите не упрощают задачу. Появляется больше вопросов,чем ответов.

[AV_77]

Orkimed в сообщении #1075755 писал(а):

Мощность группы автоморфизмов должна быть взаимно проста с группой, для которой ищется автоморфизм.

Откуда вы это выкопали?

А по задачам --- у вас даже близко к ответам нет.

[Orkimed]

Класс.И куда копать?

[Sonic86]

Orkimed в сообщении #1075755 писал(а):

Единственные "известные группы" для меня - группы $A_n$ и вычетов.

Ага, $A_n$ знаете, а $S_n$ - не знаете. Жесть

Orkimed в сообщении #1075755 писал(а):

Для меня,честно говоря, нисколько не упрощает дело.

Я Вам дал способ свести задачу к конечному перебору. Вы понимаете, что группа, указанная в 1-м пункте конечна?

Orkimed в сообщении #1075755 писал(а):

P.S Когда на первом курсе читают теорию групп,аналогии,которые вы приводите не упрощают задачу. Появляется больше вопросов,чем ответов.

ИМХО, перед изучением курса лучше знать немножко больше, чем нужно, пусть даже совсем поверхностно. И я не привел ни одной аналогии - не надо думать о моих словах так плохо - я пишу утверждения.
Вот вычислите для первого пункта выражения $\sigma \cdot (a;b;c)^{\mathrm T}, \tau \cdot (a;b;c)^{\mathrm T}$ ($\mathrm T$ - транспонирование)

Давайте конкретно: Вам понятны указанные "ошибки"? Точнее, можете ли Вы упростить запись приведенных Вами множеств?
Вы прочли что-нибудь в гугле или в Каргаполове о группах автоморфизмов? Ладно, скажу точнее: посмотрите, что такое внутренние автоморфизмы.

[Orkimed]

Про группу $S_n$ я забыл,каюсь.Но она мне известна.Я же ей только что пользовался.
Ошибки мне не понятны.Я до этого думал,что хотя бы что-то пониманию
В Каргополове я перечитал по вашему совету главу про автоморфизмы (Глава 2 параграф 5).

[Sonic86]

Orkimed в сообщении #1075776 писал(а):

Ошибки мне не понятны.

Давайте начнем с этого:

Orkimed в сообщении #1075686 писал(а):

Квадраты $\tau$ и $\sigma$ равны E. $...

$$ Z(H) = \left\lbrace e,\tau^{2} ,\sigma^{2} \right\rbrace ? $$

Sonic86 в сообщении #1075744 писал(а):

Если $\tau^{2} =\sigma^{2}=e $, то $\left\lbrace e,\tau^{2} ,\sigma^{2} \right\rbrace=?$.

Это надо исправить прежде всего потому, что если Вы не знаете теорию множеств, то сначала надо ее освоить, а не теорию групп.
Вообще, я задал кучу наводящих вопросов, а ответов не вижу Без ответов отвечать не буду.

[Orkimed]

Sonic86
Её конечно нужно освоить.По теории множеств у нас было пару лекций в цикле Алгебры.Читают опираясь на Кострикина.
Я бы рад исправить,но вот где ошибка хоть убейте не вижу.
Без ответов....Знать бы где их взять.

[Sonic86]

Orkimed в сообщении #1075784 писал(а):

Я бы рад исправить,но вот где ошибка хоть убейте не вижу.

Чем отличаются множества $\{1\}$ и $\{1;1\}$?

Orkimed в сообщении #1075755 писал(а):

А у моей Aut H она равна 7.

Забыл ответить: это неверно.

Sonic86 в сообщении #1075768 писал(а):

Вы понимаете, что группа, указанная в 1-м пункте конечна?

Sonic86 в сообщении #1075768 писал(а):

Вот вычислите для первого пункта выражения $\sigma \cdot (a;b;c)^{\mathrm T}, \tau \cdot (a;b;c)^{\mathrm T}$ ($\mathrm T$ - транспонирование)

Вот эти вопросы Вам вполне по силам

[Orkimed]

Sonic86
Одно состоит из одного элемента,другое из двух.

[Sonic86]

Orkimed в сообщении #1075790 писал(а):

Sonic86
Одно состоит из одного элемента,другое из двух.

Неверно.
Пусть $X,Y$ - множества. Что означает запись $X=Y$?

[arseniiv]

Ещё можно добавить, что аналогией тут будет сравнение $1 + 1$ и $2$. Это два разных выражения, а равны одному и тому же числу. Так же $\{a,a,a\}$ и $\{a\}$ — это два выражения с одинаковыми значениями — множеством, которому принадлежит $a$ и не принадлежит всё отличное от $a$. Кратность элементов для множеств просто не определена, хотя некоторые иногда говорят «элемент содержится во множестве не более одного раза». В таком словоупотреблении есть некоторая обоснованность, но вообще оно избыточно.

-- Пн ноя 23, 2015 00:18:41 --

Это можно ощутить, записав формулу, определяющую, что значит $x\in A$ для интересующего $A$. Например, $A = \{a, b\}$ значит, что $x\in A\Leftrightarrow x = a\vee x = b$. Тогда вполне логично, что

$$x\in\{a, a\} \Leftrightarrow x = a\vee x = a \Leftrightarrow x = a \Leftrightarrow x\in\{a\}.$$

После ответа на вопрос Sonic86 станет ясно, что это означает.