График непрерывной функции

[hippie]

Ktina в сообщении #532679 писал(а):

А во-вторых, ...

hippie в сообщении #532670 писал(а):

Во-вторых, в задаче речь идёт о непрерывных функциях $ f :\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} $, а их ровно континуум.

...если не секрет, почему?
В смысле, почему ровно континуум?

Если две непрерывные функции $ f :\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ совпадают во всех рациональных точках, то они совпадают на всей оси. (Это сразу следует из определения непрерывности функции по Гейне.)
Следовательно количество непрерывных функций $ f :\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ не превышает количества функций $ f :\mathbb{Q}\mapsto\mathbb{R}.$
А их количество равно $\text{card }( \mathbb{R}^{\mathbb{Q}})=c^{\aleph_0}=c.$

[Dave]

Кстати, как показал Вацлав Серпинский, сама континуум-гипотеза эквивалентна утверждению о том, что плоскость $\mathbb{R}^2$ может быть полностью покрыта счётным семейством кривых, каждая из которых имеет вид $y = f(x)$ (то есть имеет единственную точку пересечения с каждой вертикальной прямой) или $x = f(y)$ (имеет единственную точку пересечения с каждой горизонтальной прямой). В этой связи возникает такая задача, которую нужно решить независимо от континуум-гипотезы:

Существует ли покрытие плоскости счётным числом кривых, каждая из которых является поворотом (на произвольный угол) графика некоторой непрерывной функции $y = f(x)$?

[hippie]

Dave в сообщении #532890 писал(а):

Существует ли покрытие плоскости счётным числом кривых, каждая из которых является поворотом (на произвольный угол) графика некоторой непрерывной функции $y = f(x)$?

Не может, по теореме Бэра о категориях.

График функции, непрерывной на $\mathbb{R},$ и любая кривая, получающаяся из него поворотом — нигде не плотные множества в $\mathbb{R}^2.$ Их счётное объединение — множество первой категории. $\mathbb{R}^2$ — полное метрическое пространство.
По теореме Бэра полное МП не может быть первой категории в себе.

[Dave]

Тогда задачка чуть посложнее.

Пусть на плоскости нарисовано счётное число кривых, каждая из которых является поворотом на некоторый угол графика какой-либо непрерывной функции $y = f(x)$. Докажите, что множество точек плоскости, не принадлежащих ни одной из этих кривых, имеет мощность континуума.

[ИСН]

А что ему остаётся? Если бы оно было конечным или счётным, то мы могли бы добавить соответствующее количество кривых (по одной на точку, экономить ни к чему) и получить полное покрытие.

[Dave]

ИСН в сообщении #533250 писал(а):

А что ему остаётся? Если бы оно было конечным или счётным, то мы могли бы добавить соответствующее количество кривых (по одной на точку, экономить ни к чему) и получить полное покрытие.

Эх, забыл добавить, что эту, как и предыдущую задачу, нужно решить без использования континуум-гипотезы.

[hippie]

Dave в сообщении #533244 писал(а):

Пусть на плоскости нарисовано счётное число кривых, каждая из которых является поворотом на некоторый угол графика какой-либо непрерывной функции $y = f(x)$. Докажите, что множество точек плоскости, не принадлежащих ни одной из этих кривых, имеет мощность континуума.

Можно, например, повторить доказательство теоремы Бэра, выбирая на каждом шаге не один шар вложенный в предыдущий, а два дизъюнктных шара. В этом случае получится континуум последовательностей вложенных шаров, пересечение каждой из которых даёт точку не принадлежащую ни одной из кривых.

ИЛИ

Каждая кривая имеет меру 0. Следовательно, оставшееся множество имеет положительную меру. Поэтому оно содержит компакт положительной меры, который содержит непустое совершенное подмножество, которое имеет мощность континуум.

[Ktina]

hippie в сообщении #532670 писал(а):

Ответ на второй вопрос: не обязательно.

Сначала строим вспомогательную функцию $f(t)$.

Рассмотрим стандартную кривую Пеано как отображение отрезка $0\le t\le 1$ на квадрат $\{(x;y): 0\le x\le 1\ \&\ 0\le y\le 1 \}$ с началом в точке $(0;0)$ и концом в точке $(1;0).$
Функцию $f(t_0)$ определим как $y$-координату кривой Пеано в точке $t=t_0.$

Функция $f$ определена на отрезке $[0;1]$ и принимает значение $0$ при $t=0$ и $t=1.$

Искомая функция (график которой пересекает каждую невертикальную прямую в континууме точек):

$F(t) = e^{|[t]|}\cdot (-1)^{[t]} \cdot f(\{t\}),$
где
$[t]$ — целая часть $t;
\{t\}$ — дробная часть $t.$

К чему такие сложности? А почему не годится, к примеру, вот эта функция?

$$f(x)=x^2\cdot \sin (2^x)$$

[Ktina]

Может, я чего-то не понимаю? Разве сумма всех степеней двойки с натуральными показателями - не континуум?

[Dan B-Yallay]

Ktina в сообщении #1075075 писал(а):

Разве сумма всех степеней двойки с натуральными показателями - не континуум?

Что понимается под "сумма всех степеней двойки с натуральными показателями" ?

[Ktina]

Dan B-Yallay

$$\sum\limits_{n=1}^\infty 2^n$$

[Dan B-Yallay]

Ktina

Счетное обьединение конечных (даже счётных) множеств не даст континуума.

[Ktina]

Dan B-Yallay
А почему тогда

$$\lim\limits_{n\to\infty} 2^n=\aleph_1?$$

[Dan B-Yallay]

Откуда эта "формула" ?

[Ktina]

Dan B-Yallay

$$\lim\limits_{n\to\infty} 2^n=2^{\aleph_0}=\aleph_1$$

Разве не так? Почему? За что?