Задача Коши для уравнения теплопроводности

[Ёж]

Пусть дана задачи Коши для уравнения теплопроводности

$\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u$, $u(x,y,z,0)=\varphi(x,y,z)$

Разделяем переменные $u(x,y,z,t)=v(x,y,z)T(t)$
$\frac{dT}{d t}+\lambda^2 T=0,$
$\Delta v+\lambda^2 v=0.$

Можно ли зная фундаментальные решения уравнения (Гельмгольца)
$\Delta v+\lambda^2 v=0$ найти решение поставленной задачи Коши?

Если правильно понимаю, то для задачи Коши
$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}$, $u(x,0)=\varphi(x)$
можно решить поставленную задачу используя представление функции $\varphi(x)$ в виде интеграла Фурье. Интересует случай $n>1$

Посоветуйте, пожалуйста, литературу.

[Gickle]

Ёж
Что-то как-то сумбур немного, если честно. Как минимум не совсем понятно, на какой области поставлена задача (где граничные условия-то?) и что ещё за $n$, которое больше единицы. Короче, посоветую для начала литературу, как вы и просили:
1. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский: "Уравнения математической физики".
2. В.С. Владимиров: "Уравнения математической физики".

Почитайте главы по методу Фурье (или методу разделения переменных, что то же самое) и по задаче Штурма-Лиувилля как минимум. Примеры решения разного рода задач можете найти, например, в книге А.Ф. Горюнова: "Уравнения математической физики в примерах и задачах".

[Red_Herring]

Можно через преобразование Фурье. Можно воспользоваться одномерной формулой и получить многомерную в силу того что производная по $t$ первого порядка

http://www.math.toronto.edu/courses/apm346h1/20159/PDE-textbook/Chapter3/S3.2.html#sect-3.2.4