Вопрос по матану (пределы/ряды)

[aso]

Здравствуйте! Хочу предложить вопрос, возникший при написании диплома. Итак, имеется числовая последовательность сумм s(N)= \sum_{k=1}^N a_k (N), \; N \in \mathbb{N}, равных одному и тому же числу A (в моём конкретном случае это был 0). Далее, известно, что \lim_{N \to \infty } a_k (N) = a_k для всех k. Наконец, известно, что ряд из предельных элементов сходится. Вопрос : верно ли, что \sum_{k=1}^\infty a_k = A ? В своём случае я ответил на этот вопрос положительно, используя теорему о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, рассматривая суммы как интегралы по дискретной мере (возможно, это и экзотично, но свой результат дало). Однако, при этом пришлось дополнительно использовать свойства элементов сумм, известные для моего случая. Всё-таки хотелось бы разобраться, как обстоит дело в общем случае (контрпример с ходу построить не удалось) ?

[RIP]

Такой контрпример Вас устроит (для $A=0$)?

$$a_k(N)=\begin{cases}2^{-k},&1\leqslant k\leqslant N-1;\\-1+2^{1-N},&k=N.\end{cases}$$

[aso]

Вполне. Спасибо!