Ассоциативность и коммутативность декартова произведения

[Sonic86]

Сижу читаю Вавилова:

Вавилов Не совсем наивная теория множеств писал(а):

2. Ассоциативность прямого произведения. Во многих элементарных руководствах прямое произведение конечного числа множеств беззастенчиво определяется по индукции как $X_1\times...\times X_n = (X_1\times...\times X_{n-1})\times X_n$. При этом те же авторы на той же странице говорят, что прямое произведение некоммутативно $X \times Y\neq Y \times X$. Оба эти утверждения не могут быть верными одновременно, так как статус коммутативности и ассоциативности для прямых произведений абсолютно одинаков: с точностью до равенства ни ассоциативность, ни коммутативность не имеют место, с точностью до эквивалентности обе они имеют место. В действительности, $(X \times Y)\times Z\neq X \times Y \times Z\neq X \times (Y \times Z)$, так как второе из них состоит из упорядоченных троек, в то время как первое и третье состоят из упорядоченных пар. В то же время с точностью до канонических изоморфизмов $(X \times Y)\times Z \approx X \times Y \times Z \approx X \times (Y \times Z)$, но, конечно, в том же самом смысле $X \times Y \approx Y \times X$.

Какой канонический изоморфизм имеется ввиду для коммутативности? Перестановка компонентов пар что-ли?
Если да, то разве канонический изоморфизм $((x_1,...,x_{n-1}), x_n)\leftrightarrow (x_1,...,x_n)$ не является сильно более каноничным, чем $(x,y)\leftrightarrow (y,x)$? Я как-то думал, что люди $((x_1,...,x_{n-1}), x_n)$ и $(x_1,...,x_n)$ вообще не различают. Вот например:

apriv в сообщении #755860 писал(а):

Sonic86 в сообщении #755806 писал(а):

Потому говорить о том, какое определение пары более естественно несколько странно. Например, если приглядется, в матане энки $((x,y), z), (x,(y, z)), (x,y,z)$ не различаются

Я не знаю, как там «в матане», но в математике это три разные вещи, хоть они и изоморфны друг другу каноническим образом.

[AV_77]

Sonic86 в сообщении #1073262 писал(а):

Какой канонический изоморфизм имеется ввиду для коммутативности? Перестановка компонентов пар что-ли?

Ну да.

А то что не различаются, так это условно, в силу наличия упомянутого изоморфизма. Упорядоченная пара $(x, y)$ это, по определению, множество $\{ \{ x \}, \{x, y \} \}$. Естественно, она отличается от пары $\{ \{ y \}, \{ x, y \} \}$. Так и множества $A \times (B \times C)$ и $(A \times B) \times C$ состоят, из различных элементов.

[Sonic86]

Ладно, пусть.
Но что такое тогда "канонический изоморфизм"?
В вики нашел только это:
https://en.wikipedia.org/wiki/Canonical_map
Но это же не определение

[bot]

Sonic86 в сообщении #1073285 писал(а):

Но что такое тогда "канонический изоморфизм"

Определение. Каноническим изоморфизмом называется "понятно какой изоморфизм".

[arseniiv]

Sonic86 в сообщении #1073285 писал(а):

Но что такое тогда "канонический изоморфизм"?

По крайней мере, изоморфизмы $(a, b)\mapsto (gb, fa)$, где $f$ и $g$ — одновременно не тождественные биекции на $A, B$ соответственно, и какие-то ещё более «перемешивающие», существуют не всегда (ведь $1\times1\to1\times1\sim 1$), так что какой ещё изоморфизм так звать?

Если я правильно понимаю, интересующее семейство функций $(A, B)\mapsto u_{A, B}$, $u_{A, B}\colon A\times B\to B\times A$ — натуральное преобразование из бифунктора $(A, B)\mapsto A\times B$ в бифунктор $(A, B)\mapsto B\times A$ в $\mathbf{Set}\times\mathbf{Set}$. (Если оно не единственно, то автоматически понимаю неправильно. И натуральные преобразования ведь для бифункторов и т. д. тоже определяются?)

[Sonic86]

bot в сообщении #1073381 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1073285 писал(а):

Но что такое тогда "канонический изоморфизм"

Определение. Каноническим изоморфизмом называется "понятно какой изоморфизм".

Угу, понятно.
В общем, ИМХО, автор проехался по учебникам несколько субъективно

[Munin]

bot в сообщении #1073381 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1073285 писал(а):

Но что такое тогда "канонический изоморфизм"

Определение. Каноническим изоморфизмом называется "понятно какой изоморфизм". :D

К слову. Оттуда же, из Вавилова:

Цитата:

Само определение слова 'очевидно' совершенно не является очевидным: "Се que l'un voit, l'autre ne le voit pas" *. Стивен Кранц пересказывает следующий фрагмент Принстонского фольклора: "In the fifties, it was said in Princeton that there were four definitions of the word "obvious". If something was obvious in the sense of Beckenbach, then it is true and you can see it immediately. If something is obvious in the sense of Chevalley, then it is true and it will take you several weeks to see it. If something is obvious in the sense of Bochner, then it is false and it will take you several weeks to see it. If something is obvious in the sense of Lefschetz, then it is false and you can see it immediately." Там же он вспоминает определение теоремы, "верной в смысле Картана": "A theorem was true in the sense of Cartan, if Grauert could not find a counterexample in the space of one hour."


*) "То, что один видит, другой не видит."

[Red_Herring]

Формально, конечно, Вавилов прав, но никто, кроме пуриста или формалиста не станет различать ((x,y),z) и (x,y,z) и никто, кроме разгильдяя или жулика не станет отождествлять (x,y) и (y,x).

Удивительно, никто не упомянул следующего определения "очевидного утверждения":

Цитата:

разумеется, это утверждение неверно, и любой специалист должен это увидеть, но любой специалист должен также сообразить, как это утверждение исправить

[g______d]

Red_Herring в сообщении #1073586 писал(а):

никто, кроме пуриста или формалиста не станет различать ((x,y),z) и (x,y,z)

"Пурист" здесь вполне подходит, поскольку книга как раз и посвящена вопросам теории множеств, в том числе и тонким.

Ну и вообще, $((x,y),z)$ -- это пара, а $(x,y,z)$ -- это тройка.

Мне кажется, что различие скорее связано с тем, что математическое сообщество уже давно привыкло к некоммутативности, в то время как неассоциативность является экзотикой. Видимо, единственная не-ассоциативная структура, популярная в массах, -- это алгебры Ли, но по теореме Пуанкаре-Биркгофа-Витта они в определённом смысле ассоциативны (т. е. любую алгебру Ли можно описать как ассоциативную алгебру с операцией коммутатора).

[ewert]

g______d в сообщении #1073589 писал(а):

Видимо, единственная не-ассоциативная структура, популярная в массах, -- это алгебры Ли,

Почто первокурсников обижаете?... Они ведь тоже массовы, и у них есть векторное произведение.

[g______d]

ewert в сообщении #1073602 писал(а):

Почто первокурсников обижаете?... Они ведь тоже массовы, и у них есть векторное произведение.

Это частный случай алгебры Ли ($\mathfrak{so}(3)$), и я не стал его выделять отдельно, так же, как коммутатор матриц и скобку Пуассона.

[ewert]

g______d в сообщении #1073611 писал(а):

так же, как коммутатор матриц и скобку Пуассона

, которых, кстати, в массах тоже нет. Как и Ли.

[g______d]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1073617 писал(а):

, которых, кстати, в массах тоже нет. Как и Ли.

По желанию, можно заменить "в массах" на "в массах математиков" или "в массах работающих математиков" или на похожую синтаксически и орфографически правильную конструкцию, либо "алгебры Ли" на "алгебраические структуры, сводящиеся к алгебрам Ли" или "алгебраические структуры, являющиеся частными случаями алгебр Ли", или, впрочем, наверное, Вы уже поняли или ещё раньше или даже до того, как я ответил или ещё раньше, или даже имели это в виду в момент написания своего ответа (или ещё раньше).

Кстати, что-то мне подсказывает, что лично Вы узнали, что такое скобка Пуассона, не позже второго курса :)