Две ракеты

[bondkim137]

Две одинаковые ракеты стартуют с вершины обрыва. Одна вверх, вторая вниз. Внизу обрыва вторая ракета разворачивается и летит вверх без потери скорости. Тяга у ракет одинаковая, и топливо закончится одновременно. Какая ракета достигнет более высокой точки и почему? Трением пренебречь

[slavav]

Полная энергия второй ракеты больше в каждый момент после старта. Она и достигнет большей высоты.

[NT2000]

Первая.
Скоро топливом ракеты заправлены одинаково, то и пролететь они могут одинаковое расстояние.
А вторая ракета должна пролететь дополнительно еще 2 высоты обрыва.

[slavav]

Контрпример:
Пусть тяга ракет в точности компенсирует тяготение. Тогда первая так и останется висеть на стартовой высоте. А вторая пройдёт старт с ненулевой скоростью. Что бы доказать второй факт, добавлю что вторая ракета вернулась бы на старт даже если у неё вообще не было тяги.

[NT2000]

Imho. Думаю корректней набранную высоту определять именно в момент выключения двигателей, поэтому первая будет выше от второй.
В противном возможен вариант, когда обе ракеты могут набрать первую космическую скорость.

[gris]

Тяга это же сила? Раз она постоянна, то топливо выгорает с постоянной скоростью, масса ракеты уменьшается линейно, а реактивное ускорение возрастает гиперболически, причём одинаково по времени у двух ракет. Время полёта у них тоже одинаково. У второй ракеты $g$ сначала прибавляется, потом вычитается. У второй всё время вычитается. Может быть два раза проинтегрировать ускорение? Получим пути. Потом учтём двойную высоту обрыва

[slavav]

К моему контрпримеру добавьте достаточное время работы двигателей. Первая ракета висит на месте, вторая разгоняется до дна обрыва, разворачивается и летит вверх с постоянной скоростью. Если время работы двигателя достаточное, то она пролетит мимо старта и поднимется на произвольную высоту до остановки двигателей.

Как я считал: считаем работу, которую совершат ракеты к моменту остановки двигателей.
В каждый момент времени вторая ракета двигается быстрее первой. Силы тяги ракет одинаковы. Следовательно вторая ракета развивает большую мощность в каждый момент времени. Интегрируем, вторая ракета совершит большую работу. В момент выключения двигателей полная энергия второй ракеты больше. Следовательно, когда её кинетическая энергия обнулится, она будет обладать большей потенциальной. Следовательно, апогей её траектории выше.

-- 14.11.2015, 18:44 --

gris в сообщении #1073426 писал(а):

Тяга это же сила? Раз она постоянна, то топливо выгорает с постоянной скоростью, масса ракеты уменьшается линейно, а реактивное ускорение возрастает гиперболически, причём одинаково по времени у двух ракет. Время полёта у них тоже одинаково. У второй ракеты $g$ сначала прибавляется, потом вычитается. У второй всё время вычитается. Может быть два раза проинтегрировать ускорение? Получим пути. Потом учтём двойную высоту обрыва

Вы получите высоты в момент выключения двигателей. Какая ракета выше в этот момент зависит от ускорения ракет и времени работы. В типичном случае (большое ускорение, достаточное время работы двигателя) вторая ракета будет ниже. В моём контрпримере наоборот. Но вторая ракета всегда наберёт большую высоту в свободном полёте.

[slavav]

Проверил прямым интегрированием. При любой ненулевой функции тяги вторая ракета взлетает выше.

[Begemot82]

На разворот топливо не тратится, за счет какой силы?

[bondkim137]

Begemot82 в сообщении #1073451 писал(а):

На разворот топливо не тратится, за счет какой силы?

можно там сообразить трамплинчик U-образный. к делу отношения не имеет

-- 14.11.2015, 22:14 --

slavav в сообщении #1073443 писал(а):

Проверил прямым интегрированием. При любой ненулевой функции тяги вторая ракета взлетает выше.

Можно подробнее расписать? - не очень понял, что Вы имеете в виду под 'проверил прямым интегрированием'.

-- 14.11.2015, 22:39 --

slavav в сообщении #1073427 писал(а):

Как я считал: считаем работу, которую совершат ракеты к моменту остановки двигателей.
В каждый момент времени вторая ракета двигается быстрее первой. Силы тяги ракет одинаковы. Следовательно вторая ракета развивает большую мощность в каждый момент времени. Интегрируем, вторая ракета совершит большую работу. В момент выключения двигателей полная энергия второй ракеты больше. Следовательно, когда её кинетическая энергия обнулится, она будет обладать большей потенциальной. Следовательно, апогей её траектории выше.

Я полностью согласен. Но тут довольно тонкий момент - использовать закон сохранения энергии в незамкнутых системах отчета..

[slavav]

bondkim137 в сообщении #1073476 писал(а):

Можно подробнее расписать? - не очень понял, что Вы имеете в виду под 'проверил прямым интегрированием'.

$g$ - модуль ускорения свободного падения.
$a(t)$ - модуль реактивного ускорения ракет.
$v(t) = \int\limits_{0}^{t}a(t)dt$ - не имеет физического смысла в этой задаче.
$h(t) = \int\limits_{0}^{t}v(t)dt$ - не имеет физического смысла в этой задаче.
$t_1$ - момент когда вторая ракета на дне.
$t_2$ - момент когда двигатели выключились. Дальше предполагаю, что $t_2 \geqslant t_1$. Но можно доказать и для другого порядка событий.
Вычислим скорости ракет в момент выключения двигателей:
$v_1(t_2) = v(t_2) - gt_2$
$v_2(t_2) = v(t_2) - gt_2 + 2gt_1$
Высоты в тот-же момент:
$h_1(t_2) = h(t_2) - \frac{gt_2^2}{2}$
$h_2(t_2) = h(t_2) - \frac{gt_2^2}{2} - 2h(t_1) + 2gt_1t_2 - 2gt_1^2$
Апогеи:
$H_i = h_i(t_2) + \frac{v_i^2(t_2)}{2g}$
Вычитаем апогеи и доказываем неравенство.

[Xey]

slavav в сообщении #1073443 писал(а):

Проверил прямым интегрированием. При любой ненулевой функции тяги вторая ракета взлетает выше.

Если не ракета, а реактивный снаряд, у которого горючее заканчивается на старте, то вроде бы досгигнут одинаковой высоты.
Можно представить двойной заряд топлива, первая половина сгорает на старте, а вторая после разворота. Все равно высоты одинаковы.
Можно и дальше дробить заряд

[bondkim137]

Xey в сообщении #1073492 писал(а):

Можно представить двойной заряд топлива, первая половина сгорает на старте, а вторая после разворота. Все равно высоты одинаковы.
Можно и дальше дробить заряд

нет, второй взрыв добавит различную кинетическую энергию первой и второй ракете

-- 14.11.2015, 23:55 --

Ух! понятно, но довольно громоздко. Вот элегантное решение:

slavav в сообщении #1073427 писал(а):

В каждый момент времени вторая ракета двигается быстрее первой. Силы тяги ракет одинаковы. Следовательно вторая ракета развивает большую мощность в каждый момент времени. Интегрируем, вторая ракета совершит большую работу. В момент выключения двигателей полная энергия второй ракеты больше. Следовательно, когда её кинетическая энергия обнулится, она будет обладать большей потенциальной. Следовательно, апогей её траектории выше.

Единственное, что бы быть аккуратным, стоит говорить о ракетах без топлива. Тогда закон сохранения энергии начнет уверенно работать. Тяга правда не будет постоянной, но это и не важно - при любой (одинаковой) функции тяги вышеописанное останется верным.

[NT2000]

slavav в сообщении #1073488 писал(а):

$h_1(t_2) = h(t_2) - \frac{gt_2^2}{2}$
$h_2(t_2) = h(t_2) - \frac{gt_2^2}{2} - 2h(t_1) + 2gt_1t_2 - 2gt_1^2$

Не знаю как у вас вышли эти выражения, но присмотримся к ним.
Для примера примем, что время $t_1 = t_2 $, тогда:
$h_2(t_2) = h(t_2) - \frac{gt_2^2}{2} - 2h(t_2) + \not{2gt_2^2} - \not{2gt_2^2}$
Отсюда: $h_1(t_2) > h_2(t_2)$

[slavav]

$t_1$ - это когда вторая ракета разворачивается у дна обрыва. В этот момент она ниже. В чём вопрос?