комбинаторика и поля Галуа

[Руст]

Разделить окружность длины $m(q)=q(q-1)+1$ на $q+1$ частей отметим точками $А(0),А(1),...,А(q)$ так, чтобы для любого натурального числа $n$ меньше $m$ единственным образом соответствовали точки $А(i),A(j)$ расстояние по часовой стрелке между которыми равна $n$.
Например при $q=2$ ($m=7$) выбрав точки так, чтобы расстояния между соседними равнялись $1,2,4$ получаем $|A_0,A1|=1,|A_1,A_2|=2,|A_0,A_2|=3,|A_2,A_0|=4,$$|A_2,A_1|=5, |A_1,A_0|=6.$
Имеется гипотеза, что решения при $q>1$ имеются только в случае, когда $q$ является степенью простого числа. Во всяком случае это так при $q<20$. Приведу пример решения последовательных расстояний при $q=19$:
1,13,15,31,39,11,68,23,21,3,2,7,10,8,37,16,4,32,6,34.
Вот как дается количество решений (с точностью до поворотов и зеркальных отражений считающихся одинаковыми)
q 2 3 4 5 7 8 9 11 13 16 17 19
N 1 2 1 5 6 4 6 18 20 6 51 42
В связи с этим у меня возникло подозрение, что решения связаны с эллиптическими кривыми над полями из $q$ элементов. Наверное здесь люди знают сколько "не изоморфных" эллиптических кривых над полем из $q$ элементов. Соответствуют ли они указанной таблице?

[maxal]

По "изоморфизмом" эл.кривых? Афинные преобразования или что-то еще?

[Руст]

хотя бы не изоморфных как абелевых групп.

[Руст]

Можно и с точностью до аффинного изоморфизма. Возможно эти классификации совпадают.

[maxal]

Согласно MathWorld, эллиптическую кривую над полем характеристики отличной от $2,3$ можно представить в нормальной форме Лежандра:

$$y^2=x(x-1)(x-\lambda)$$

, где $\lambda$ отлична от $0,1$.
Поэтому количество "неизоморфных" эллиптических кривых над полем $GF(q)$, где $q$ не является степенью 2-ки или 3-ки, не превышает $q-2$.

[Руст]

Да, похоже не в этом деле. Но какая та связь с полями Галуа думаю есть. $m=q(q+1)+1$ - есть количество точек в проективном пространстве $P^2(Fq)$, $q+1$ - количество точек на прямой $P(Fq)$. Я предполагал, что есть связь ещё со сложением.