"необыкновенные" обыкновенные дроби

[toliktkm]

кину-ка я эту прелесть сюда. Будучи аспирантом на кафедре прикладной математики, столкнулся с ужасающим провалом у бывших школьников в области работы с обыкновенными дробями. И никак не мог понять, что тут такого сложного. Самые страшные задачи были из разряда сложить 5/17 и 2/13, допустим. Многие студенты чуть ли не рыдали... просили дать калькулятор и т.д.
И вот буквально вчера одна знакомая делала со своей дочкой "домашку" (дочка учится в школе) и прислала мне прекрасную иллюстрацию к тому, как НЕЛЬЗЯ рассказывать про дроби. И тут-то я понял, почему у студентов дроби вызывали такой ужас. ТАК изуродовать и усложнить эту простейшую тему - надо ещё постараться:

Ну а далее ещё веселее:

Вот так просто и незатейливо:"Нарисуйте две ленты длинной 4 см(!!!) и 8 см(!!!), и сравните 1/2 МЕТРА и 2/4 МЕТРА..." Кто-то ещё сомневается в эффективности современного образования? Да если ребенок смог разобраться в этом бреде, то он поймёт ЛЮБОЕ самое бредовое ТЗ!

[Sonic86]

Че-то я не понял.
А в чем проблема-то?
Вроде нормально все написали

[toliktkm]

Вот об этом я и говорил... Может быть, конечно, это чисто моё субъективное мнение. Но дроби должны восприниматься учеником, да и человеком, как "части чего-то целого"... То есть, две четвёртых - это именно ДВЕ части чего-то, поделенного на 4, а не одна часть от двух целых, поделенных на четыре... Само понимание дробей при таком восприятии, как мне кажется, искажается. Вот и появляются проблемы с 45/27, например. Ученик начинает воспринимать дроби не как "сорок пять двадцать седьмых частей", а как "что-то, состоящее из 45 метров, разделённое на 25 частей". Так понятна моя точка зрения?

[U-17]

Мне кажется, лучше объяснять дроби на дольках апельсина.
Взять апельсин и разрезать надвое. Взять одну дольку и съесть. Это $\frac12$.
Можно взять апельсин и разрезать на четыре дольки взять две дольки и съесть. Это будет $\frac24$ или $\frac12$.
Можно на 143 дольки разрезать, если у вас хороший острый нож и взять 21 - это будет $\frac{21}{143}$.

В приведенном примере внимание обращают на несущественную ерунду, требуя изобразить ленту шириной именно 5 мм. Можно подумать есть разница сколько миллиметров. Эти учебники не могут научить абстрактному мышлению.

В школе еще маразм в том, что снижают оценки за всякую ерунду, даже если сделал правильно. Работу надо оформить правильно, поставил точку с запятой (;) в конце примера - снижают оценку (так в учебнике было, я так постоянно делал). Мол, что это за знак, откуда это взято?

[iifat]

toliktkm в сообщении #1072550 писал(а):

Так понятна моя точка зрения?

Честно говоря, нет. Может, вы попробуете написать эти пол ($\frac12$ ) странички так, как вам кажется правильным?

U-17 в сообщении #1072554 писал(а):

лучше объяснять дроби на дольках апельсина

Может, и лучше — когда объясняешь одному ученику. А есть перед классом апельсины — не лучшая идея, по-моему.

[Munin]

toliktkm в сообщении #1072550 писал(а):

Вот об этом я и говорил... Может быть, конечно, это чисто моё субъективное мнение. Но дроби должны восприниматься учеником, да и человеком, как "части чего-то целого"... То есть, две четвёртых - это именно ДВЕ части чего-то, поделенного на 4, а не одна часть от двух целых, поделенных на четыре...

Это на самом деле одно и то же. $\tfrac{m}{n}=m\cdot\tfrac{1}{n}=m:n.$

Разумеется, мы больше пользуемся вашим представлением, поскольку оно поддержано в языке: "две четвёртых" - это как бы "две" вещи, каждая из которых - "четвёртая = одна четвёртая часть = четверть = одна четверть".

Но математически дроби можно рассказывать и как числа, необходимые для того, чтобы операция деления всегда была выполнима (если знаменатель не нуль). Впрочем, математическая логичность, конечно, часто педагогически неестественна: логичнее всего было бы рассказать об обратимости и замкнутости относительно операции умножения...

Впрочем, язык тоже сохраняет архаические черты, несвойственные естественному пониманию: "одна четвёртая часть" подразумевает "четвёртую" из какой-то последовательности частей, то есть последнюю из частей $\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)_i,$ дополняющую предыдущие до целой единицы. Такая интерпретация действительно когда-то была, но сейчас прочно забыта. Как и числа типа "пол-четверта" $=3\tfrac{1}{2},$ сохранившиеся в выражениях "пол-четвёртого" (часа).

[U-17]

Мне кажется что лучше объяснять математические понятия в той же последовательности, в которой они исторически появились.
Не всегда, конечно, это уместно.

[Skeptic]

toliktkm в сообщении #1072542 писал(а):

кину-ка я эту прелесть сюда. Будучи аспирантом на кафедре прикладной математики, столкнулся с ужасающим провалом у бывших школьников в области работы с обыкновенными дробями. И никак не мог понять, что тут такого сложного. Самые страшные задачи были из разряда сложить 5/17 и 2/13, допустим. Многие студенты чуть ли не рыдали... просили дать калькулятор и т.д.
И вот буквально вчера одна знакомая делала со своей дочкой "домашку" (дочка учится в школе) и прислала мне прекрасную иллюстрацию к тому, как НЕЛЬЗЯ рассказывать про дроби. И тут-то я понял, почему у студентов дроби вызывали такой ужас. ТАК изуродовать и усложнить эту простейшую тему - надо ещё постараться:

Какую часть нижней полоски составляет заштрихованный участок?
Почему его длина указана как $\frac{2}{4}$, а не $\frac{1}{4}$? Наверно потому, что его длина равна $0,5$м как на первой полоске.
Почему не взять полоску длиной, например, $\pi$ метров, и заштриховать часть длиной 0,5 метров? Незнание будет таким же.

С такими учебниками и такими учителями школьникам путь в науку закрыт наглухо, только в менеджеры.

[Munin]

U-17 в сообщении #1072631 писал(а):

Мне кажется что лучше объяснять математические понятия в той же последовательности, в которой они исторически появились.

Это широко распространённое заблуждение, оно возникает из-за того, что в некоторых учебниках математики даются "исторические" отступления, экскурсы и пояснения. Обычно страшно безграмотные и ошибочные - именно в историческом плане.

Дело в том, что история любой науки - гораздо более сложная, извилистая, логически непоследовательная, чем сама эта наука в современном состоянии. Изучать математические понятия в исторической последовательности - значит, набросать в голову мусор в произвольном порядке, в надежде, что "как-то уляжется".

А то, что принимают за историю недалёкие авторы большинства учебников по математике - на самом деле, мифы об истории, не имеющией с ней ничего общего. Такая "квазиисторическая последовательность" - логичнее и прямее реальной истории, но обычно хуже, чем просто последовательное логическое построение материала. И читатель привыкает такое читать, и принимает это за историю. В настоящих книгах по истории науки видно, что всё было иначе.

[Neos]

Конечно нужно поднимать "шум". Дело в том, что учебники не "вычитываются". Вообще, многие учебники никто не читает. Народ получает очередное научное звание за "новую методику преподавания". Препод, скорее всего "случайный человек". Было поветрие считать $\pi=3$ точно, т.к. удобно рисовать графики в клетчатой тетради. В ВУЗах бытует мнение: " Кто знает предмет - замается наукой, кто знает хуже - занимается преподаванием, а кто вообще ни черта не смыслит - занимается "методикой преподавания". В данном случае менять нужно как учебник, так и преподавателя.

[Munin]

toliktkm
Кстати, а что за учебник? Напишите выходные данные: автора, название (включая подзаголовки), номер издания, год и место издания. Проще всего их списать со страницы после титульной, там где аннотация, прямо перед ней (иногда это в конце книги).

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Беседы на околонаучные темы» в форум «Вопросы преподавания»
Причина переноса: в соответствии с тематикой.

[Anton_Peplov]

Neos в сообщении #1072677 писал(а):

Дело в том, что учебники не "вычитываются". Вообще, многие учебники никто не читает.

Читают. Но там процедура дурацкая. Учебник отдают на экспертизу в РАН (проверка на фактические ошибки) и РАО (проверка на методически ошибки). Те выдают список того, что надо исправить. Издательство пишет гарантийное письмо - мол, исправим всенепременно. На основании этого гарантийного письма МОН шлепает учебнику допуск. Реально никто ничего не исправляет, чтобы не тратить время и выпустить учебник уже к ближайшему учебному году. За это с издательством можно бы судиться, но некому.
По крайней мере, такая процедура была несколько лет назад, "Троицкий вариант" об этом писал. Как сейчас - не знаю, в нашем замечательном образовании все меняется со скоростью света.

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1072705 писал(а):

По крайней мере, такая процедура была несколько лет назад, "Троицкий вариант" об этом писал.

Можно ссылку?

Anton_Peplov в сообщении #1072705 писал(а):

Как сейчас - не знаю, в нашем замечательном образовании все меняется со скоростью света.

Кроме недостатков...

[U-17]

Munin
Соглашусь с Вами. Действительно, мусор получится, если это все внавал читать.
Думаю чтение статей и книг по истории науки помогает понять как раз что в науке не все так просто, что одно и тоже понятие можно определить по-разному.

Это мне помогло в понимании дифференциала. Раньше, как я понял, его понимали по-разному. Тут я изложу свое, интуитивное понимание дифференциала.

Я вот раньше не понимал что такое дифференциал (а может и сейчас не понимаю, поправьте меня, пожалуйста, если я не прав).
Сначала я понимал дифференциал просто как приращение. То есть $\Delta$. Но настораживало, что для дифференциала придумали свое обозначение, значит он отличается. Ну и приращение может быть большое, будут огромные искажения, и формулы производных не имели бы смысла.
Потом я думал что это бесконечно малая величина, но с другой стороны, должен же быть предел (не в математическом смысле) этой величины? Иначе как понять, "достаточно ли мало приращение"? Где-то, для каких-то функций или каких-то случаев, нужно очень малое приращение, для других функций или случаев (допустим для измерения объема с помощью операции интегрирования, обратной дифференцированию) необязательно брать столь малое приращение.

Значит есть какой-то критерий, "когда нужно остановиться в уменьшении величины". Потом я пришел к выводу, что любую дифференцируемую функцию можно начертить, используя лишь прямые линии, если рисовать их настолько короткими, насколько "этого требует каждая функция". После каждого проведенного отрезка, следующий рисовать нужно под углом(для каждой функции и для каждого интервала на области определения он свой) к предыдущему.

Этот вывод следует из определения производной в точке, что производная в точке это тангенс угла наклона касательной. Если нарисовать единичную окружность с центром в начале координат (0;0) и прямоугольный треугольник вписанный в одну из четвертей , то тангенс можно представить как отношение длины стороны треугольника по оси ординат к длине треугольника по оси абсцисс. То есть, тангенс линейно зависим от длин сторон треугольника.

Так как приращение функции можно представить как стороны этого треугольника, можно сделать вывод, что можно найти такие приращения аргумента и функции, что они станут линейно зависимы друг от друга. Дальнейшее уменьшение $\Delta$ бессмысленно, так как линейная зависимость между приращениями сохранится.

То есть, дифференциал это линейная часть приращения функции. То есть, приращение функции и приращение аргумента нужно уменьшать лишь до того предела, когда, приращение функции линейно зависит от приращения аргумента.

То есть, дифференциал, по сути это линейная функция и для каждой отдельной дифференцируемой функции, эта линейная функция своя.
Получается, что если взять очень маленькую окрестность в точке, в которой эта функция дифференцируема, можно, скажем так "приближенно" заменить эту функцию линейной функцией, то есть, дифференциалом.