Когда можно совершать предельный переход?

[Cynic]

Доказывал я тут что $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} = 1$, доказал что варианта убывает и ограничена снизу нулем. Теперь хочу найти предел перейдя к пределу в выражении. Ответ вроде сходится, но ... если взять например $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\sqrt[n]{{n!}}}}$ и перейти к переделу, то ответ будет не верным. Всё это наводит меня на мысль, что переход не всегда возможен. Фихтенгольц пишет про неопределенные выражения вида $\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },0 \cdot \infty ,\infty - \infty$, но не пишет про выражения вида ${\infty ^0}{,0^\infty }$. Я конечно понимаю, что возведение в степень равносильно умножению, но хотелось бы подтверждения догадки.

[Slav-27]

Cynic в сообщении #1072654 писал(а):

Доказывал я тут что $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} = 1$, доказал что варианта убывает и ограничена снизу нулем. Теперь хочу найти предел перейдя к пределу в выражении.

В каком и как?

[Cynic]

Slav-27 в сообщении #1072659 писал(а):

В каком и как?

Что в каком и как? Я привел два выражения для сравнения.

[Brukvalub]

Cynic в сообщении #1072654 писал(а):

Фихтенгольц пишет про неопределенные выражения вида $\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },0 \cdot \infty ,\infty - \infty$, но не пишет про выражения вида ${\infty ^0}{,0^\infty }$

А чему, по-вашему, равны два последние выражения?

[Cynic]

Brukvalub в сообщении #1072662 писал(а):

А чему, по-вашему, равны два последние выражения?

Демидович говорит что:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\sqrt[n]{{n!}}}} = 0$

Т.е. если в последнем выражении если перейти к пределу, то должно получиться 1, а не 0.

Или я не правильно понял какие выражения вы имеете ввиду?

[Otta]

Cynic в сообщении #1072664 писал(а):

Т.е. если в последнем выражении если перейти к пределу, то должно получиться 1, а не 0.

Правильно ли я понимаю, что $n$ и $n!$, на Ваш взгляд, одно и то же?

[Cynic]

Otta в сообщении #1072666 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что $n$ и $n!$, на Ваш взгляд, одно и то же?

Естественно нет. Только как это связано с вопросом?

[Otta]

Так же, как единица с нулем.

[oniksofers]

Cynic в сообщении #1072654 писал(а):

перейти к переделу, то ответ будет не верным

Ну так и какой предел и почему он неверный?

[Slav-27]

Вы пишете: я-де вычисляю предел такой-то последовательности и получаю 1. Потом-де я вычисляю предел какой-то другой последовательности и получаю что-то другое, а не 1.

И что?

[Cynic]

Slav-27 в сообщении #1072671 писал(а):

Вы пишете: я-де вычисляю предел такой-то последовательности и получаю 1. Потом-де я вычисляю предел какой-то другой последовательности и получаю что-то другое, а не 1.
И что?

Блин. Вот я установил, что варианта имеет предел. Хочу теперь перейти к пределу чтобы его посчитать:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\sqrt[n]{{n!}}}} = \frac{1}{{{{\left( {n!} \right)}^{\frac{1}{n}}}}} = \frac{1}{{{{\left( \infty \right)}^0}}} = \frac{1}{1} = 1$

Хотя на самом деле:

$0 < \frac{1}{{\sqrt[n]{{n!}}}} < \frac{1}{{n!}} < \frac{1}{n} < \varepsilon$, как только $n > \frac{1}{\varepsilon }$

Т.е. $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\sqrt[n]{{n!}}}} = 0$

[oniksofers]

Cynic в сообщении #1072676 писал(а):

Хочу теперь перейти к пределу чтобы его посчитать

Про формулу Стирлинга слышали?

[Otta]

oniksofers
Он маленький ишо. :)

-- 12.11.2015, 20:03 --

Cynic

Cynic в сообщении #1072676 писал(а):

$\frac{1}{{\sqrt[n]{{n!}}}} < \frac{1}{{n!}} $

Наоборот, естественно.

[oniksofers]

Otta в сообщении #1072681 писал(а):

Он маленький ишо

Помнится нам на 1 курсе, в середине то ли 1, то ли 2 семестра уже выкатили эту формулу, обосновали конечно гораздо позже, но все же.

[Cynic]

oniksofers в сообщении #1072679 писал(а):

Cynic в сообщении #1072676 писал(а):

Хочу теперь перейти к пределу чтобы его посчитать

Про формулу Стирлинга слышали?

Слышал, но это ни как не связано с ответом на мой вопрос. Вопрос напоминаю звучит так: Когда можно и когда нельзя делать предельный переход? Можно упростить вопрос - почему переход к пределу в выражении $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\sqrt[n]{{n!}}}}$ дает не верный ответ?

-- 12.11.2015, 19:06 --

Otta в сообщении #1072681 писал(а):

oniksofers
Он маленький ишо. :)

-- 12.11.2015, 20:03 --

Cynic

Cynic в сообщении #1072676 писал(а):

$\frac{1}{{\sqrt[n]{{n!}}}} < \frac{1}{{n!}} $

Наоборот, естественно.

Да, гоню Но я и так знаю что ответ там ноль.