Эффективная гравитирующая энергия

[Z.S.]

"Согласно общей теории относительности, тяготение создается не только плотностью среды, но и её давлением. При этом "эффективная" плотность энергии, создающая тяготение, складывается из суммы двух слагаемых: плотности энергии и трех величин давления. Плотность эффективной гравитирующей энергии: $\varepsilon _{G}=\varepsilon +3p$, $p$ - давление среды, $\varepsilon$ - плотность энергии."
Эта цитата, как мне подсказали, верна только в космологии.


Рассмотрим тонкий растянутый стержень длиной $L$, постоянного по длине сечения, величина приложенной в сечении силы равна $F$. ($F>0$). Пусть стержень расположен вдоль оси $X$ декартовой системы координат. Середина стержня совпадает с началом координат. Задача: найти вклад в гравитационное поле, возникающий из-за наличия напряжений в веществе стержня. Для простоты полагаем, что расстояние от интересующей нас точки ( где ищем напряженность поля) до начала координат, намного больше длины стержня.

Вопрос: по какой формуле считать? Я предполагаю, что надо использовать тензор напряжений $[\sigma]$, примерно так:

$\vec{g}_{\sigma }=-k[m_{\sigma }] \frac{\vec{R}}{R^{3}}$

Где

$[dm_{\sigma }]=\xi \frac{[\sigma] }{c^{2}}dV$

И

$[m_{\sigma }]=\xi \frac{FL }{c^{2}}\begin{bmatrix} -1 & 0 &0 \\ 0& 0&0 \\ 0& 0& 0 \end{bmatrix}$

Здесь $\xi $ - коэффициент. Каким тогда должен быть коэффициент $\xi $?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Munin]

Z.S. в сообщении #1071806 писал(а):

Вопрос: по какой формуле считать? Я предполагаю, что надо использовать тензор напряжений $[\sigma]$, примерно так

А какого чёрта вы "предполагаете", вместо того чтобы заглянуть в учебник?

ФЛГ:
Амплитуда обмена гравитоном в форме "ток на ток", в линейном приближении (нелинейное считать труднее, и тут оно нафиг не нужно), и система координат выбрана так, что $k=(0,0,\kappa,\omega)$:

Цитата:

$$\begin{aligned}&2\biggl[T'_{\mu\nu}\biggl(\dfrac{1}{k^2}\biggr)T^{\mu\nu}-\dfrac{1}{2}T'^\nu{}_\nu\biggl(\dfrac{1}{k^2}\biggr)T^\mu{}_\mu\biggr]=\\ &\qquad\begin{aligned}=&-\dfrac{1}{\kappa^2}\biggl[T'_{44}T_{44}\biggl(1-\dfrac{\omega^2}{\kappa^2}\biggr)+T_{44}(T'_{11}+T'_{22})+{}\\ &{}+T'_{44}(T_{11}+T_{22})-4T'_{41}T_{41}-4T'_{42}T_{42}]-{}\\ &{}-\dfrac{1}{\kappa^2-\omega^2}[(T'_{11}-T'_{22})(T_{11}-T_{22})+4T'_{12}T_{12}]\\ \end{aligned}\end{aligned}$$

То, что Фейнман называет амплитудой обмена гравитоном, на классическом языке есть член взаимодействия в лагранжиане. Волновой вектор надо рассматривать как оператор Д'Аламбера, применённый к пространственно-временному распределению источников ($T^{\mu\nu}$), в фурье-образах. Разумеется, переход к фурье-оригиналу будет не всегда прост.

Отсюда вытаскивается и гравитационное поле в стационарной задаче. Надо положить $\omega=0$ (при этом $-1/\kappa^2$ станет свёрткой с обычным ньютоновским потенциалом) а член взаимодействия лагранжиана автоматически и есть потенциал. Поскольку вам нужно распределение в пространстве, то надо не задавать ТЭИ приёмника $T'_{\mu\nu},$ а сохранять выражение, не свёрнутое с ним по индексам (член $T'^\nu{}_\nu$ заменяется на $\delta^\nu{}_\nu$). По итогам вычисления получится потенциал поля $h_{\mu\nu},$ от которого стандартный метрический тензор $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+2\lambda h_{\mu\nu},$ и дальше по стандартным формулам считаете символы Кристоффеля.

-- 10.11.2015 17:35:29 --

Замечу, что эта формула (почти?) не встречается в других учебниках по гравитации, а в то же время, она крайне проста, прозрачна и удобна в приложениях.

[Z.S.]

Munin
Спасибо. Вы сможете привести значения [компонент] $h_{\mu\nu}$ которые должны получиться в этой задаче (как ориентир)?

[Munin]

А вам не кажется, что по приведённой формуле их посчитать - это уже задача для пятиклассника?

-- 11.11.2015 15:57:37 --

Хотя бы напишите $T_{\mu\nu}$ для вашего стержня.

[SergeyGubanov]

Напряжения в стержне дадут неоднородность распределения массы стержня - он деформируется.

Неоднородность распределения массы стержня даст гораздо большую поправку в гравитационное поле чем учёт эффектов Общей теории относительности.

[Z.S.]

Munin , вот, уже пишу:

$T_{\mu\nu}= \operatorname{diag}(T_{00} ,T_{11}, T_{22}, T_{33})=\operatorname{diag}(\varepsilon , -\sigma, 0, 0)$

$\varepsilon=\frac{mc^{2}}{SL}+\frac{1}{2E}\left (\frac{F}{S} \right )^{2}$ - плотность энергии

$\sigma =\frac{F}{S}$ - растягивающие напряжения в стержне

$m$ - масса нерастянутого стержня
$F$ - величина силы
$S$ - площадь сечения
$L$ - длина стержня
$E$ - модуль Юнга.

SergeyGubanov, спасибо.
Я беру поле на большом расстоянии от стержня и тонкий растянутый стержень (струна). Т.е. неоднородностями наверное можно пренебречь в таком случае?

[Munin]

Неоднородностями можно пренебречь.

Нельзя пренебречь теми "щипцами", которые растягивают стержень. Потому что они тоже содержат в себе напряжения, и распространяются в пространстве вокруг.

[Z.S.]

Реально есть растянутая струна и эти самые "щипцы" ( например тонкая сжатая труба поверх струны и соединенная со струной по концам). Т.е. есть "замкнутая " по напряжениям система [струна + щипцы]. Суммарный вклад ( от напряжений) , в гравитационное поле вокруг, эта система должна давать нулевой. Т.о. я ищу вклад от одной половины "замкнутой" по напряжениям системы - это вклад от напряжений растянутой струны.

Если в данном случае исходить из равенства инертной и гравитационной (активной и пассивной) масс, то по идее коэффициент $\xi$ , что я ранее приводил, надо брать равным единице. Это предположение я хочу проверить подсчетом.

[Munin]

Ну чего, как я и говорил, зануляем $\omega,$ получается:

$$\begin{aligned} \\-\dfrac{1}{\kappa^2}\biggl[&T'_{44}T_{44}+T_{44}(T'_{11}+T'_{22})+{}\\ &{}+T'_{44}(T_{11}+T_{22})-4T'_{41}T_{41}-4T'_{42}T_{42}]-{}\\ {}-\dfrac{1}{\kappa^2}[&(T'_{11}-T'_{22})(T_{11}-T_{22})+4T'_{12}T_{12}].\\ \end{aligned}$$

Теперь переведём ваши координаты в фейнмановские:

$$\begin{aligned}{}&T_{11}=-\sigma\sin^2\alpha,&&T_{13}=T_{31}=-\sigma\cos\alpha\sin\alpha,\quad T_{33}=-\sigma\cos^2\alpha,\\&T_{44}=\varepsilon,&&\textit{остальные}\quad T_{\mu\nu}=0,\end{aligned}$$

где $\alpha$ - угол между стержнем и направлением радиус-вектора $\mathbf{R}.$ И дальше очевидно:

$$\begin{aligned}&2h_{44}=-\dfrac{1}{R}[T_{44}+T_{11}],&&2h_{11}=-\dfrac{1}{R}[T_{44}+T_{11}],\\&2h_{22}=-\dfrac{1}{R}[T_{44}-T_{11}],&&\quad\textit{остальные}\quad h_{\mu\nu}=0.\end{aligned}$$

Знак я сразу подогнал, чтобы он был привычнее. Гравитационную константу добавьте по вкусу. Обратите внимание на чередование плюса и минуса.

-- 12.11.2015 16:35:52 --

Z.S. в сообщении #1072623 писал(а):

Суммарный вклад ( от напряжений) , в гравитационное поле вокруг, эта система должна давать нулевой.

Это правильный вывод. Там, где растянутая часть даёт вклад $-\sigma,$ там сжатая даёт вклад $+\sigma$ (усреднённый по тому же объёму).

Z.S. в сообщении #1072623 писал(а):

Если в данном случае исходить из равенства инертной и гравитационной (активной и пассивной) масс, то по идее коэффициент $\xi$ , что я ранее приводил, надо брать равным единице. Это предположение я хочу проверить подсчетом.

Разумеется, никаких "коэффициентов $\xi$" в правильных формулах не фигурирует.

[Z.S.]

Munin, $e^{+\infty }$ спасибо. Вы действительно, реально помогли. Скачал книгу, пойду считать по правильному ( а жизнь-то - налаживается ... ).

[Munin]

Z.S. в сообщении #1072695 писал(а):

Скачал книгу

И это только сейчас!..

[Z.S.]

Munin, скажите , я правильно изобразил по вашим данным взаимное расположение координатных осей (моих $x_{c}$,$y_{c}$,$z_{c}$) и фейнмановских, к которым вы перешли?. Мне кажется тут что-то не так. Может в $T_{11}$ должен быть квадрат косинуса а в $T_{33}$ - квадрат синуса? Т.е. радиус вектор пойдет по фейнмановской оси $X_{\Phi }$?

[Munin]

Да, вот я всё с этими косинусом-синусом пытался разобраться... и всё-таки их перепутал :-) Ну и чёрт с ними, легко подправить.