Функция распределения

[ShMaxG]

Что интересно, ряд, который я выписал, дает немонотонную функцию $F_\zeta(x)$, если $\xi$ выбрана из первого поста ТС. Что же это получается, что сл.в. $\xi$ и $\eta$ с заявленными свойствами не существуют?

[--mS--]

Tosha в сообщении #1072240 писал(а):

$F_{\zeta\eta}(t,y)=F_{\zeta}(t)\cdot F_{\eta}(y)$ (тк есть независимость $\zeta$ и $\eta$)[/math]

К чему Вы это пишете? $F_{\zeta,\eta}(t,y)$ (а не $F_{\zeta\eta}(t,y)$!) нам абсолютно без надобности.

Tosha в сообщении #1072240 писал(а):

Но, чтобы использовать формулу полной вероятности -- нужно понимать -- какие гипотезы. Я вот пока что не понимаю, к сожалению.

Гипотезы $\{\eta=0\}$ и $\{\eta=1\}$. Давайте, начну за Вас: $F_{\xi}(x)=\mathsf P(\zeta+\eta<x) = \ldots$ дальше ФПВ.

(Оффтоп)

Henrylee
Ну уж от Вас-то не ожидала.
При $x\neq\pm 1$

$$0=\mathsf P(\zeta+\eta=x)=\frac12\mathsf P(\zeta=x)+\frac12\mathsf P(\zeta=x-1)\geqslant \frac12\mathsf P(\zeta=x).$$

Следовательно, функция распределения $\zeta$ непрерывна всюду, кроме, возможно, точек $\pm 1$.

$$\mathsf P(\zeta+\eta=-1)=\frac12\mathsf P(\zeta=-1)+\frac12\mathsf P(\zeta=-2)=\frac12\mathsf P(\zeta=-1),$$

$\mathsf P(\zeta+\eta=1)=\frac12\mathsf P(\zeta=1)+\frac12\mathsf P(\zeta=0)=\frac12\mathsf P(\zeta=1)$.
Т.е. скачки у ф.р. $\zeta$ в точках $\pm 1$ есть. Осталось сложить $\frac12 F_{\zeta} (x)+\frac12 F_{\zeta}(x-1)$,
чтобы понять, что полусумма двух этих функций со скачками в точках $-1$ и $1$ у первой и в точках $0$ и $2$ у второй никакой ф.р. $\xi$ дать не в состоянии.

[Henrylee]

ShMaxG в сообщении #1072340 писал(а):

Что интересно, ряд, который я выписал, дает немонотонную функцию $F_\zeta(x)$, если $\xi$ выбрана из первого поста ТС. Что же это получается, что сл.в. $\xi$ и $\eta$ с заявленными свойствами не существуют?

Да, я, похоже, не прав. Видимо, действительно так и есть.

[ShMaxG]

--mS--
Все, достаточно моего позора на сегодня, уношу отсюда ноги

P.S. Теперь я понял, что значили ваши слова о "разобраться", признаю что был не прав. Хитрая оказалась задачка. Возможно, dsge тоже смотрел в корень проблемы.

[Henrylee]

--mS-- в сообщении #1072344 писал(а):

(Оффтоп)

Henrylee
Ну уж от Вас-то не ожидала.
При $x\neq\pm 1$

$$0=\mathsf P(\zeta+\eta=x)=\frac12\mathsf P(\zeta=x)+\frac12\mathsf P(\zeta=x-1)\geqslant \frac12\mathsf P(\zeta=x).$$

Следовательно, функция распределения $\zeta$ непрерывна всюду, кроме, возможно, точек $\pm 1$.

$$\mathsf P(\zeta+\eta=-1)=\frac12\mathsf P(\zeta=-1)+\frac12\mathsf P(\zeta=-2)=\frac12\mathsf P(\zeta=-1),$$

$\mathsf P(\zeta+\eta=1)=\frac12\mathsf P(\zeta=1)+\frac12\mathsf P(\zeta=0)=\frac12\mathsf P(\zeta=1)$.
Т.е. скачки у ф.р. $\zeta$ в точках $\pm 1$ есть. Осталось сложить $\frac12 F_{\zeta} (x)+\frac12 F_{\zeta}(x-1)$,
чтобы понять, что полусумма двух этих функций со скачками в точках $-1$ и $1$ у первой и в точках $0$ и $2$ у второй никакой ф.р. $\xi$ дать не в состоянии.

(Оффтоп)

Мда, самонадеянность иногда губит.. Абсолютно согласен. Каюсь. Снимаю шляпу. Вместе с головой. И спасибо!

[Tosha]

Гипотезы $\{\eta=0\}$ и $\{\eta=1\}$. Давайте, начну за Вас: $F_{\xi}(x)=\mathsf P(\zeta+\eta<x) =\mathsf P(\zeta+1<x)\cdot \mathsf P(\eta=1)+\mathsf P(\zeta<x)\cdot \mathsf P(\eta=0)=$

$=0,5\left(\mathsf P(\zeta<x-1)+\mathsf P(\zeta<x)\right)$

$F_{\xi}(x)=0,5\left(\mathsf F_{\zeta}(x-1)+\mathsf F_{\zeta}(x)\right)$

Это получилось!

[--mS--]

Уже хорошо. Теперь разберитесь, почему случайных величин из условия задачи не существует - выше это объяснено.

[Tosha]

Не очень понятно, почему приравняли к нулю фр изначально

[--mS--]

Это не ф.р., а вероятность попасть в точку. Функция распределения $\xi$ непрерывна всюду, за исключением точек $\pm 1$. Поэтому вероятность $\xi$ равняться любому значению кроме $\pm 1$ чему равна?

[Tosha]

--mS-- в сообщении #1072519 писал(а):

Это не ф.р., а вероятность попасть в точку. Функция распределения $\xi$ непрерывна всюду, за исключением точек $\pm 1$. Поэтому вероятность $\xi$ равняться любому значению кроме $\pm 1$ чему равна?

Равна нулю, спасибо, ясно! А почему $\mathsf P(\zeta=-2)=0$, a $\mathsf P(\zeta=-1)\ne 0$?
Складывая скачки по вашей формуле у меня получилось $0,375-e^{-1}$. Разве это плохо? Или я что-то не так складываю?

[--mS--]

На первый вопрос: разве там не написано, почему? И вероятности (величины скачков) вычислены. А зачем и куда Вы скачки складываете, я не понимаю. Ещё раз посмотрите на свою формулу: как функция распределения $\xi$ получается из функции распределения $\zeta$?

Давайте, Вы приложите хотя бы минимальные собственные усилия? Чтобы понять написанное, много труда не надо.