2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Описанные окружности. Хитрющая задача
Сообщение11.11.2015, 15:02 


11/08/13
128
В треугольнике $KLM$ угол $L$ тупой, а сторона $KM$ равна $6$. Найдите радиус описанной около треугольника $KLM$ окружности, если известно, что на этой окружности лежит центр окружности, проходящей через вершины $K, M$ и точку пересечения высот треугольника $KLM$.

Верно ли решение?

Дополнительные обозначения. $N$ - точка пересечения высот треугольника $KLM$, $M_1$ - точка пересечения продолжения стороны $ML$ и высоты $KN$, $K_1$ - точка пересечения высоты $MN$ и продолжения стороны $KL$. $O_1$ - центр описанной окружности треугольника $KLM$, $O_2$ - центр окружности, проходящей через точки $KNM$.

Изображение

У четырехугольника $NM_1MK_1$ два угла прямые, поэтому углы $KNM$ и $KLM$ в сумме равны $180°$ (угол $M_1LK_1$ вертикальный к углу $KLM$). Угол $KNM$ вписан в окружность с центром в точке $O_2$ и опирается на дугу $KM$ этой окружности. Угол $KLM$ вписан в окружность с центром в точке $O_1$ и опирается в ней на дугу $KM$ (большую, которая лежит снаружи окружности с центром в точке $O_2$). Поскольку $O_2$ лежит на окружности с центром в точке $O_1$, то угол $KO_2M$ вписан в окружность с центром в точке $O_1$ и опирается на ту же дугу, что и угол $KLM$. При этом он является в окружности с центром в точке $O_2$ центральным углом для дуги $KM$, то есть он в 2 раза больше угла $KNM$.

Если обозначить угол $\angle KNM =\alpha$; то угол $\angle KO_2M=3\alpha=KLM = 180° - \alpha$; откуда $\alpha= 60°$;

Угол $\angle KLM = 120°$,

и - по теореме синусов,

$6 = 2*R*\sin(120°)$; $R = 2\sqrt{3}$

Ненужное следствие - радиусы окружностей равны, и центр $O_1$ лежит на окружности с центром в точке $O_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Описанные окружности. Хитрющая задача
Сообщение11.11.2015, 16:13 


21/10/15
195
Цитата:
У четырехугольника $NM_1MK_1$

Какой-то странный четррёхугольник. Опечатка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Описанные окружности. Хитрющая задача
Сообщение11.11.2015, 17:52 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
boriska в сообщении #1072282 писал(а):
$NM_1MK_1$
Конечно опечатка.$NM_1LK_1$ А так совершенно правильное решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Описанные окружности. Хитрющая задача
Сообщение11.11.2015, 20:09 
Аватара пользователя


28/01/14
349
Москва
iancaple в сообщении #1072330 писал(а):
Конечно опечатка.
И ещё опечатка:
boriska в сообщении #1072282 писал(а):
$\angle KO_2M=3\alpha$
Должно быть $2\alpha$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group