Описанные окружности. Хитрющая задача

boriska · 11/08/13 128

В треугольнике $KLM$ угол $L$ тупой, а сторона $KM$ равна $6$ . Найдите радиус описанной около треугольника $KLM$ окружности, если известно, что на этой окружности лежит центр окружности, проходящей через вершины $K, M$ и точку пересечения высот треугольника $KLM$ .

Верно ли решение?

Дополнительные обозначения. $N$ - точка пересечения высот треугольника $KLM$ , $M_1$ - точка пересечения продолжения стороны $ML$ и высоты $KN$ , $K_1$ - точка пересечения высоты $MN$ и продолжения стороны $KL$ . $O_1$ - центр описанной окружности треугольника $KLM$ , $O_2$ - центр окружности, проходящей через точки $KNM$ .

У четырехугольника $NM_1MK_1$ два угла прямые, поэтому углы $KNM$ и $KLM$ в сумме равны $180°$ (угол $M_1LK_1$ вертикальный к углу $KLM$ ). Угол $KNM$ вписан в окружность с центром в точке $O_2$ и опирается на дугу $KM$ этой окружности. Угол $KLM$ вписан в окружность с центром в точке $O_1$ и опирается в ней на дугу $KM$ (большую, которая лежит снаружи окружности с центром в точке $O_2$ ). Поскольку $O_2$ лежит на окружности с центром в точке $O_1$ , то угол $KO_2M$ вписан в окружность с центром в точке $O_1$ и опирается на ту же дугу, что и угол $KLM$ . При этом он является в окружности с центром в точке $O_2$ центральным углом для дуги $KM$ , то есть он в 2 раза больше угла $KNM$ .

Если обозначить угол $\angle KNM =\alpha$ ; то угол $\angle KO_2M=3\alpha=KLM = 180° - \alpha$ ; откуда $\alpha= 60°$ ;

Угол $\angle KLM = 120°$ ,

и - по теореме синусов,

$6 = 2*R*\sin(120°)$ ; $R = 2\sqrt{3}$

Ненужное следствие - радиусы окружностей равны, и центр $O_1$ лежит на окружности с центром в точке $O_2$