Об одном свойстве натуральных чисел

[VikDemak]

Случайно обнаружил любопытное свойство натуральных чисел. Проверил математические энциклопедии, но нигде не встретил упоминание об этом свойстве натуральных чисел. Многие считают, что число $0$ входит в натуральные числа. Другие считают, что число $0$ не является натуральным числом. Так вот, обнаруженное свойство натуральных чисел выполняется только для натурального ряда чисел, в который число $0$ не входит, и не выполняется для натурального ряда чисел, в который включено число $0$.
Рассмотрим операции сложения и вычитания на отрезке ряда натуральных чисел $1, 2, ..., N$. Пусть $X$ и $Y$ - натуральные числа от $1$ до $N$.
Обозначим через $Z$ - результат сложения натуральных чисел $X$ и $Y$. Потребуем от натурального числа $Z$ выполнения неравенства $0 < Z < N + 1$, то есть $Z$ должно быть натуральным числом от $1$ до $N$.

$$Z = X + Y$$

Если $Z < N + 1$, то наше требование выполнено. Минимальная величина суммы в этом случае равна $2$, а максимальная величина суммы равна $N$. Таким образом, число $Z$ в этом случае изменяется от $2$ до $N$.
Если $Z > N$, то наше требование не выполнено. В этом случае вычтем из суммы число $N$. Получим $Z = X + Y - N$. Поскольку максимальная величина суммы $X + Y$ равна $2 N$, то $Z = X + Y - N$ не превосходит $N$. Поскольку вычитание числа $N$ из суммы $X + Y$ мы производим только в том случае если эта сумма больше $N$ (равна $N + 1, N + 2, ..., 2 N$), то минимальная величина $Z = X + Y - N = N + 1 - N = 1$. Таким образом, число $Z$ изменяется от $1$ до $N$.
Рассмотрим нахождения чисел $X$ или $Y$ из числа $Z$.
Здесь возможны два варианта:
1) $X = Z - Y = X + Y - Y = X$, это обычное вычитание.
2) $X = Z - Y = X + Y - N - Y = X - N$. Поскольку максимальная величина числа $X$ равна $N$, то $X - N < 1$. Следовательно, для получения правильного результата мы должны прибавить к разнице число $N$. В этом случае $X = Z - Y = X + Y - N - Y + N = X$.
В действительности нам не нужно знать о том, вычитали мы из суммы $Z$ число $N$ или не вычитали. Достаточно проверять результат вычитания $Z - Y$ на выполнение условия $Z - Y < 1$. Если неравенство выполняется, то необходимо прибавить число $N$. Если неравенство не выполняется, то ничего делать не надо.
Аналогично обстоит дело с вычитанием натуральных чисел.
В целом, число ноль не нужно для операций вычитания и сложения с числами отрезка натурального ряда от $1$ до $N$. Достаточно проверять результат операции на условие $0 < Z < N + 1$. Если результат операции меньше единицы, то к результату операции необходимо прибавить число $N$. Если результат операции больше $N$, то из результата операции необходимо вычесть число $N$.
Это свойство выполняется только для отрезка ряда натуральных чисел от $1$ до $N$ и не выполняется для отрезка ряда чисел от $0$ до $N$, а также для любого отрезка ряда натуральных чисел, начинающегося с числа большего $1$.
Прошу математиков и других специалистов высказать свое мнение о важности обнаруженного свойства. Согласен на шнобелевскую премию, поэтому прошу высказываться по-существу. В конце дискуссии я покажу вариант использования этого свойства в практической деятельности людей.

[gris]

во-первых, советую Вам очень срочно окружить все формулы, а также одиночные обозначения чисел, знаками доллара (шифт 4). Вот так:
Потребуем от натурального числа $Z$ выполнения неравенства $0 < Z < N + 1$, то есть $Z$ должно быть натуральным числом от $1$ до $N$.
$Z = X + Y$

во-вторых, свойств, которые есть у множества $\mathbb N$, но нет у $\mathbb N_0$ e v.v. много, но как-то это не особенно влияет на общее положение дел.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

VikDemak в сообщении #1072323 писал(а):

В конце дискуссии я покажу вариант использования этого свойства в практической деятельности людей.

Показывайте сразу, что уж.

[slavav]

Речь идёт об арифметике по модулю N. Вы сформулировали некоторые её свойства для отрезка $[1, N]$. В классике она определяется для отрезка $[0, N - 1]$.

[arseniiv]

(Оффтоп)

С не меньшим успехом «в классике» она определяется на классах вычетов $a + N\mathbb Z$.

[Munin]

(Оффтоп)

Ну неудобно просто через пятку аппендикс удалять...

[iifat]

Уж и не помню точно, какую именно классику я недавно перечитывал, но с удивлением узнал, что, собственно, не $\[1,N\]$ и не $\[0,N-1\]$, а по одному (любому!) числу из каждого класса.

[Munin]

Спасибо за напоминание.
И даже не по любому числу из класса, а собственно над классами операции и определены. А $0,1,\ldots,n-1$ - это просто способ нумерации этих классов, классически общепринятый. По сути, переименованием $0$ в $n$ он превращается в $n,1,\ldots,n-1.$

[tolstopuz]

Возможно, топикстартер уже открыл выполняющееся в его числовой системе интересное соотношение $X+N=X$. Если ввести умножение (как повторное сложение, обязательно доказав корректность), то можно вывести еще одно соотношение: $NX=N$. А если (при простом $N$) додуматься до деления, то получается закон "на $N$ делить нельзя". В этом месте стоит остановиться и подумать, не проходили ли такое $N$ в школе :)

[iifat]

Поскольку cyberforum идёт в (не знаю уж, насколько обширном) списке ТС раньше, могу приоткрыть завесу тайны. Да, соотношение $X+N=X$ ТС уже открыл, однако от умножения пока воздержался. Следующим будет столь же корявое описание циклической группы.

[Munin]

То есть, донести до него мысль, что велосипед уже изобретён, не удаётся?

[arseniiv]

См. историю сообщений и гениальный метод шифрования.

[VikDemak]

Практическое использование обсуждаемого свойства натуральных чисел.
Рассмотрим преобразование одного текста в другой текст. Для демонстрационных целей ограничимся преобразованием слова "Ад" в слово "Агат".
ПЕРВЫЙ ШАГ - вычисление собственного алфавита слова "Ад". Собственный алфавит - это различне символы, которые встречаются в слове "Ад". Таких символов 2 - буква "А" и буква "д".
ВТОРОЙ ШАГ - вычисление собственного алфавита слова "Агат". Таких символов 4 - буква "А", буква "г", буква "а", буква "т".
ТТНТИЙ ШАГ - вычисление собственного алфавита обоих слов. Таких символов 5 - буква "А", буква "д", буква "г", буква "а", буква "т".
ЧЕТВЕРТЫЙ ШАГ - запишем собственный алфавит обох слов в одну строчку и перенумеруем символы алфавита. Номера букв - это адреса этих букв в алфавите.
А-1 д-2 г-3 а-4 т-5
Длина алфавита N = 5
ПЯТЫЙ ШАГ - вычисление вектора приращения, позволяющего преобразовать слово "Ад" в слово "Агат". Вектор приращения обозначим через V().
1) Берем первую букву слова "Ад" - это буква "А". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 1. Берем первую букву слова "Агат" - это буква "А". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 1. Находим разность адресов 1 - 1 = 0. Это меньше 1, поэтому прибавляем к разности N = 5. Получим 0 + 5 = 5. Записываем это число на первое место в вектор приращения V(1) = 5.
2) Берем вторую букву слова "Ад" - это буква "д". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 2. Берем вторую букву слова "Агат" - это буква "г". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 3. Находим разность адресов 3 - 2 = 1. Это число больше 0 и меньше 6, поэтому записываем это число на второе место в вектор приращения V(2) = 1.
3) Поскольку первое закончилось, то начинаем использовать это слово сначала. Берем первую букву слова "Ад" - это буква "А". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 1. Берем третью букву слова "Агат" - это буква "а". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 4. Находим разность адресов 4 - 1 = 3. Это число больше 0 и меньше 6, поэтому записываем это число на третье место в вектор приращения V(3) = 3.
4) Берем вторую букву слова "Ад" - это буква "д". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 2. Берем четвертую букву слова "Агат" - это буква "т". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 5. Находим разность адресов 5 - 2 = 3. Это число больше 0 и меньше 6, поэтому записываем это число на четвертое место в вектор приращения V(4) = 3.
Вектор приращений содержит 4 числа V()={5,1,3,3}
ШЕСТОЙ ШАГ - преобразование слова "Ад" в слово "Агат".
1) Берем первую букву из слова "Ад" - это буква "А". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 1. Прибавляем к этому адресу первое число из вектора приращения - это число 5. 1 + 5 = 6. Поскольку 6 > N = 5, то вычитаем число N. 6 - 5 = 1. Это адрес первой буквы второго слова в общем алфавите. По этому адресу находится буква "А" - это первая буква второго слова.
2) Берем вторую букву из слова "Ад" - это буква "д". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 2. Прибавляем к этому адресу второе число из вектора приращения - это число 1. 2 + 1 = 3. Поскольку 3 больше 0 и меньше 6, то ничего больше не делаем. Это адрес второй буквы второго слова в общем алфавите. По этому адресу находится буква "г" - это вторая буква второго слова.
2) Поскольку первое закончилось, то начинаем использовать это слово сначала. Берем первую букву из слова "Ад" - это буква "А". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 1. Прибавляем к этому адресу третье число из вектора приращения - это число 3. 1 + 3 = 4. Поскольку 4 больше 0 и меньше 6, то ничего больше не делаем. Это адрес третьей буквы второго слова в общем алфавите. По этому адресу находится буква "а" - это третья буква второго слова.
3) Берем вторую букву из слова "Ад" - это буква "д". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 2. Прибавляем к этому адресу четвертое число из вектора приращения - это число 3. 2 + 3 = 5. Поскольку 5 больше 0 и меньше 6, то ничего больше не делаем. Это адрес четвертой буквы второго слова в общем алфавите. По этому адресу находится буква "т" - это четвертая буква второго слова.
Мы вычислили второе слово "Агат" из первого слова "Ад". Это действие мы называем преобразованием слова "Ад" в слово "Агат".
Как видите для преобразования необходимо использовать описанное ранее свойство натуральных чисел. Обратите внимание: адреса в алфавите должны начинаться с 1. Если адрес в алфавите начинается с 0, то алгоритм не работает. Это связано с тем, что прибавление 0 не изменяет адрес. Таким образом, описанное свойство натуральных чисел - это арифметика адресов в алфавитах при преобразовании текстов.
Преобразование текстов не является шифрованием, так как целью шифрования является сокрытие смысла текста. А у нас целью преобразования является получение нового текста с новым смыслом и новым размером. Кроме того, если бы этот алгоритм был алгоритмом шифрования, то государство давно бы принудительно выкупила бы его в свою собственность. У государства имеются более мощные и надежные средства защиты, чем наш алгоритм преобразования текстов. Наш алгоритм предназначен для защиты частной информации.
Преобразование текста можно производить самого в себя, в том числе можно получить весь текст из любой буквы текста. Это является изоморфизмом процесса выращивания организма из одной клетки. Конечно, в живой природе все намного сложнее, но общая схема, скорее всего, неизменна.
Прошу коллег высказаться, а также задать интересующие Вас вопросы.

[tolstopuz]

VikDemak в сообщении #1074586 писал(а):

1) Берем первую букву из слова "Ад" - это буква "А". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 1. Прибавляем к этому адресу первое число из вектора приращения - это число 5. 1 + 5 = 6. Поскольку 6 > N = 5, то вычитаем число N. 6 - 5 = 1. Это адрес первой буквы второго слова в общем алфавите. По этому адресу находится буква "А" - это первая буква второго слова.
...
Обратите внимание: адреса в алфавите должны начинаться с 1. Если адрес в алфавите начинается с 0, то алгоритм не работает. Это связано с тем, что прибавление 0 не изменяет адрес.

Так как в вышеуказанном примере прибавление числа $5$ также не изменило адрес ($1\to1$), строго логически приходим к неопроверживому выводу: ваш алгоритм точно так же не работает.