Туймаада-2015-М.Иванов

[Navid]

Для каждого представим число $ n!$ в виде $ ab^2$ где $ a $ свободно от квадратов. Докажите, что для любого $ \varepsilon > 0 $ при всех достаточно больших $n$ выполнено неравенство : $2^{(1-\varepsilon)n} < a < 2^{(1+\varepsilon)n}$

[Sonic86]

$v_p:=v_p(n!)=\sum\limits_{k\geqslant 1}\left[\frac{n}{p^k}\right]$
$\ln a=\sum\limits_{p\leqslant \sqrt{n}}\ln p \cdot v_p \bmod 2 + \sum\limits_{\sqrt{n}<p\leqslant n}\ln p \cdot\left[\frac{n}{p}\right] \bmod 2=S_1+S_2$
$S_1=\sum\limits_{p\leqslant \sqrt{n}}\ln p \cdot v_p \bmod 2 \leqslant \sum\limits_{j\leqslant \sqrt{n}}\ln j \sim \frac{1}{2}\sqrt{n}\ln n$
$S_2=\sum\limits_{\sqrt{n}<p\leqslant n}\ln p \cdot \left[\frac{n}{p}\right] \bmod 2=\sum\limits_{\frac{n}{2}<p\leqslant n}\ln p+\sum\limits_{\frac{n}{4}<p\leqslant \frac{n}{3}}\ln p+...+O(\sqrt{n}\ln n)=$
$=\theta(n)-\theta\left(\frac{n}{2}\right)+\theta\left(\frac{n}{3}\right)-\theta\left(\frac{n}{4}\right)+...+O(\sqrt{n}\ln n)$
Функция Чебышева оценивается так: $(\forall k)\theta (x)=x+O\left(\frac{x}{\ln ^k x}\right)\Rightarrow$
$S_2=n\ln2+O\left(\frac{n}{\ln ^k n}\right)\Rightarrow$
$(\forall k)(\exists \varepsilon)2^{n\left(1-\varepsilon\frac{1}{\ln^k n}\right)}<a<2^{n\left(1+\varepsilon\frac{1}{\ln^k n}\right)}$