Математическое ожидание

[2serg2]

Добрый вечер вопрос такой:
пусть существует двумерная плотность $p(x;y)$ случайной величины $$(\xi, \eta)$.
Необходимо показать, что если $ \xi, \eta $ - независимые случайные величины, то:
$M_{\xi \eta} = M_{\xi}M_{\eta}$
Используя определение матожидания через интеграл Стилтьеса.

$M_{\xi\eta} = \int\limits_{-\infty}^{\infty}xdF_{\zeta}(x)$, $\zeta=\xi\eta$

Соответственно, я хотел представить $F_{\zeta}$ в виде $F_{\zeta}(x) = \int\limits_{-\infty}^{x}dt_1\int\limits_{-\infty}^{\infty}t_1p_{\xi\eta}(t_1,t_2)dt_2 (1) $

Тогда применив известные свойства интеграла Стилтьеса, получим требуемое утверждение.

Проблема в том, что (1),вообще говоря, неверно. Как тогда быть?

Хотелость бы получить требуемое утверждение исходя только из теории одномерного интеграла Стилтьеса.

[Otta]

Чаще всего результат доказывается с использованием зависимости матожидания от плотности. Не устраивает?

[2serg2]

Otta в сообщении #1072158 писал(а):

Чаще всего результат доказывается с использованием зависимости матожидания от плотности. Не устраивает?

Вы имеете в виду:

$M_{\xi\eta} = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} p(x;y)dxdy$?
Ну да - отсюда все сразу очевидно.
Я что-то не совсем понимаю, как к этому перейти от

$M_{\xi\eta} = \int\limits_{-\infty}^{\infty}xdF_{\zeta}(x)$, $\zeta=\xi\eta$

[Otta]

2serg2 в сообщении #1072172 писал(а):

$M_{\xi\eta} = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} p(x;y)dxdy$?
Ну да - отсюда все сразу очевидно.

Не, отсюда ничего не очевидно, это просто неверно.

[2serg2]

Otta в сообщении #1072173 писал(а):

2serg2 в сообщении #1072172 писал(а):

$M_{\xi\eta} = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} p(x;y)dxdy$?
Ну да - отсюда все сразу очевидно.

Не, отсюда ничего не очевидно, это просто неверно.

Да, согласен, забыл $xy$;

$M_{\xi\eta} = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} xyp(x;y)dxdy$

[--mS--]

Для этого как минимум следует правильно найти плотность распределения величины $\zeta=\xi\eta$. Можете её выписать? Начните хотя бы с ситуации, когда и $\xi$, и $\eta$ неотрицательны.

(Оффтоп)

Путь очень странный. Свойства математического ожидания доказываются легко и просто в общем случае предельным переходом, скажем, от простых случайных величин.

[2serg2]

--mS-- в сообщении #1072203 писал(а):

Для этого как минимум следует правильно найти плотность распределения величины $\zeta=\xi\eta$. Можете её выписать? Начните хотя бы с ситуации, когда и $\xi$, и $\eta$ неотрицательны.

Вроде так:

$F_{\xi\eta}(x) = \int\limits_{-\infty}^{0}dt_1\int\limits_{x/t_1}^{\infty}p(t_1,t_2)dt_2 + \int\limits_{0}^{\infty}dt_1\int\limits_{-\infty}^{x/t_1}p(t_1,t_2)dt_2$

[ewert]

2serg2 в сообщении #1072150 писал(а):

пусть существует двумерная плотность $p(x;y)$ случайной величины $$(\xi, \eta)$.
Необходимо показать, что если $ \xi, \eta $ - независимые случайные величины, то:
$M_{\xi \eta} = M_{\xi}M_{\eta}$

А при чём тут вообще существование плотности?

[2serg2]

ewert в сообщении #1072255 писал(а):

2serg2 в сообщении #1072150 писал(а):

пусть существует двумерная плотность $p(x;y)$ случайной величины $$(\xi, \eta)$.
Необходимо показать, что если $ \xi, \eta $ - независимые случайные величины, то:
$M_{\xi \eta} = M_{\xi}M_{\eta}$

А при чём тут вообще существование плотности?

Ну нужно показать это для непрерывных случайных величин. Проблема в том, что матожидание определяется через интеграл Стилтьеса. Если Вы можете предложить способ, как доказать требуемое равенство для произвольных случайных величин, было бы интересно.

[--mS--]

2serg2 в сообщении #1072245 писал(а):

$F_{\xi\eta}(x) = \int\limits_{-\infty}^{0}dt_1\int\limits_{x/t_1}^{\infty}p(t_1,t_2)dt_2 + \int\limits_{0}^{\infty}dt_1\int\limits_{-\infty}^{x/t_1}p(t_1,t_2)dt_2$

Это пока функция распределения, а не плотность. Сделайте замену в каждом из интегралов $t_2\mapsto v_2$ как $t_2t_1 = v_2$ и получите плотность. А потом подставляйте её в интеграл и обратными заменами пытайтесь разбить его в произведение интегралов (матожиданий).

Вот только к чему это всё, так и не стало понятно. Откройте любой учебник (Ширяев, Боровков) и почитайте, как это свойство доказывается в общем случае. Предельным переходом.

[2serg2]

--mS-- в сообщении #1072338 писал(а):

2serg2 в сообщении #1072245 писал(а):

$F_{\xi\eta}(x) = \int\limits_{-\infty}^{0}dt_1\int\limits_{x/t_1}^{\infty}p(t_1,t_2)dt_2 + \int\limits_{0}^{\infty}dt_1\int\limits_{-\infty}^{x/t_1}p(t_1,t_2)dt_2$

Это пока функция распределения, а не плотность. Сделайте замену в каждом из интегралов $t_2\mapsto v_2$ как $t_2t_1 = v_2$ и получите плотность. А потом подставляйте её в интеграл и обратными заменами пытайтесь разбить его в произведение интегралов (матожиданий).

Вот только к чему это всё, так и не стало понятно. Откройте любой учебник (Ширяев, Боровков) и почитайте, как это свойство доказывается в общем случае. Предельным переходом.

Гнеденко так делает. Точнее он делает так для суммы,используя формулу свертки, а для произведения оставляет читателю. Вот я и думаю, как он хотел сделать(Предельный переход не подразумевается).

Вообще интересн, почему Гнеденко не рассматривает матожидание как интеграл Лебега, сразу в общем случае.

[--mS--]

Ну тогда получайте плотность, и пробуйте раскрутить затем двойной интеграл