Вер. того, что ровно k шаров будет хотя бы в одной из урн

[Shikaka]

задача: есть 37 урн, в них N раз кидают по шарику, какова вероятность, что в одной урне окажется 10 шариков?

N>10 ;)

Сразу оговорюсь что есть 2 вероятности...
1. Ровно 10 шариков в одной урне
2. минимум 10 шариков в одной урне

не занимался теорвером с 3его курса...

для 2ого варианта придумал
вероятность попадания 10 шариков в 1 урну * на количество комбинаций 10 из N

т.е. $$ \left( \frac 1 {37} \right) ^{10} C_N^{10}

но эта формула не верна... совсем неверна :(

не подскажете ли решение... а то кроме тупого:
1 - P(0 из N) - P(1 из N) - ... - P(9 из N). организованного в цикле у меня не выдумавается...

PS сломал руки об этот math, но таки родил одну формулу... безумно горд собой )))


____________________________
При перемещении в тематический раздел заголовок изменен на более информативный. Первоначальный: "Несложная задачка по теорверу. помогите решить". / GAA

[Руст]

В одной фиксированной урне или в какой нибудь из тридцати семи урн? Последний случай сложнее и требует дополнительного уточнения. По крайней мере в одной из 37 урн или ровно в одной из тридцати семи?

[Shikaka]

Цитата:

В одной фиксированной урне или в какой нибудь из тридцати семи урн? Последний случай сложнее и требует дополнительного уточнения. По крайней мере в одной из 37 урн или ровно в одной из тридцати семи?

а есть разница?
если в одной урне будет 10 шариков, какая разница сколько шариков в остальных урнах?
я думаю число урн дано только для определения вероятности попадания шара в одну урну... которая равна 1/(кол-во урн).

[Shikaka]

брр... совсем плох стал...
по первому варианту - ровно 10 шаров по крайней мере в одной из 37 урн.

PS важнее второй вариант, он мне представляется проще и нужнее для разработки... интереснее первый вариант, ибо сложнее ...

[Shikaka]

изыскания привели в распределению бернулли... которое должно помочь при решении первого варианта... ))

P _n \left( m \right) = C _n ^m * P ^n Q ^{n-m} ,
где P _n \left( m \right)- вероятность того, что событие произойдет именно m раз. n - количество испытаний

Приведите $\LaTeX$ код к корректному виду. В соответствии с правилами. // cepesh

[Юстас]

Итак, пусть есть М урн N шаров и нужна вероятность того что ровно k шаров будут хотя бы в одной из луз. Считаем, что шар равновероятно попадает в каждую из М луз. Тогда всего возможных вариантов расположения шаров M^N
Обозначим множество $A_1=\{$в 1-й урне k шаров$\},..,A_M=\{$в M-й урне k шаров$\}$ Нам нужно посчитать число элементов мн-ва $\bigcup\limits_1^M A_i$
Далее остается применить формулу включений-исключений, которая позволяет выразить объединение множеств через всевозможные пересечения. А число элементов множества $A_{i_1}\cap...\cap A_{i_n}$есть, как несложно заметить, $ (M-n)^{N-nk}I\{nk\leq N\} $, где I - индикаторная функция. В ответе будет как раз длинная сумма, полученная из формулы включений-исключений, деленная на M^N, и скорее всего свернуть ее нельзя.

[maxal]

Юстас писал(а):

Итак, пусть есть М урн N шаров и нужна вероятность того что ровно k шаров будут хотя бы в одной из луз. Считаем, что шар равновероятно попадает в каждую из М луз. Тогда всего возможных вариантов расположения шаров M^N
Обозначим множество $A_1=\{$в 1-й урне k шаров$\},..,A_M=\{$в M-й урне k шаров$\}$ Нам нужно посчитать число элементов мн-ва $\bigcup\limits_1^M A_i$
Далее остается применить формулу включений-исключений, которая позволяет выразить объединение множеств через всевозможные пересечения. А число элементов множества $A_{i_1}\cap...\cap A_{i_n}$есть, как несложно заметить, $ (M-n)^{N-nk}I\{nk\leq N\} $, где I - индикаторная функция. В ответе будет как раз длинная сумма, полученная из формулы включений-исключений, деленная на M^N, и скорее всего свернуть ее нельзя.

Не такая уж и длинная формула получается:

$$\frac{1}{M^N}\sum_{j=0}^{\min\{M,\lfloor N/k\rfloor\}} (-1)^j {M\choose j} \frac{N!}{k!^j(N-jk)!} (M-j)^{N-jk}$$

[Архипов]

Shikaka писал(а):

задача: есть 37 урн, в них N раз кидают по шарику, какова вероятность, что в одной урне окажется 10 шариков?

N>10

Можно заменить эту процедуру на эквивалентную - какова вероятность того, что в N испытаниях число 37 появится 10 раз? При равной вероятности появления натуральных чисел от 1 до 37. Условие соответствует формуле Бернулли для p=1/37.

[Henrylee]

Архипов писал(а):

Shikaka писал(а):

задача: есть 37 урн, в них N раз кидают по шарику, какова вероятность, что в одной урне окажется 10 шариков?

N>10

Можно заменить эту процедуру на эквивалентную - какова вероятность того, что в N испытаниях число 37 появится 10 раз? При равной вероятности появления натуральных чисел от 1 до 37. Условие соответствует формуле Бернулли для p=1/37.

Неверно. Выделенное следует заменить на "хотя бы одно из чисел от 1 до 37"
К тому же, как оказалось, не "10 раз", а "не менее 10 раз"