Системы ДУ

[Kiwi]

Помогите с задачкой по диф. уравнениям!
Дана диф. система:
dx/dt = A(t)x
A(t+T)=A(t)+B
B-матрица монодромии
Ф(t)-фундаментальная матрица
Выразить Ф(t+T) через Ф(t) и B.

[V.V.]

Kiwi писал(а):

Помогите с задачкой по диф. уравнениям!
Дана диф. система:
dx/dt = A(t)x
A(t+T)=A(t)+B
B-матрица монодромии
Ф(t)-фундаментальная матрица
Выразить Ф(t+T) через Ф(t) и B.

Что-то не то с задачей!

Пусть даже матрица A(t) удовлетворяет условию Лаппо-Данилевского (т.е. коммутирует со своим интегралом), а матрицы A(t) и B коммутируют.
Тогда нормальная в t=0 фундаментальная матрица имеет вид
$\Phi(t)=e^{\int\limits_0^t A(\tau)d\tau} e^{Bt}$;

Сдвинем на период:
$\Phi(t+T)=e^{\int\limits_0^{t+T} A(\tau)d\tau} e^{B(t+T)}=\Phi(t)e^{\int\limits_0^T A(\tau)d\tau} e^{BT}$.
Мы видем, что выразить $\Phi(t+T)$ только через $\Phi(t)$ и B не удается.

[Kiwi]

Да, матрицы A(t) и B коммутируют, но эта задача не просто с головы моей, а моего научного руководителя. И она решается, используя теорему Флоке (так научный сказал).

[V.V.]

Kiwi писал(а):

Да, матрицы A(t) и B коммутируют.

Значит, для матриц Лаппо-Данилевского задача почти решена.
Осталось только повторить несложные выкладки теории Флоке-Ляпунова.

А где учитесь?

[Kiwi]

Университет, Бела русь

[Sky]

Помогите, пожалуйста, найти предельный цикл и первый интеграл системы д.у.
dx/dt=a1*x-b1*x*y-p1*x*z-g1*x*x;
dy/dt=-a2*y+b2*x*y-g2*y*y;
dz/dt=-a3*z+b3*x*z-g3*z*z.
Можно при каких-либо конкретных значениях параметров a1,a2,a3,b1,b2,b3,p1,g1,g2,g3.
Заранее спасибо!!!

Интересно, откуда в вашем сообщении было такое количество переносов каретки? Убрал лишнее. Dan_Te

[V.V.]

Kiwi, я какой-то бред написал раньше. Извини!

Sky, предельный цикл будет не при любых значениях параметров. Да и произвола в задаче как-то много...

[Kiwi]

Мне мой руководитель сам показал, как решается эта система. Осталось только привести теорему по асимптотической устойчивости по Ляпунову. Если бы я знала как! Попробую. Спасибо за стремление помочь!

[Sky]

Если можно подскажите, при каких именно параметрах система будет иметь предельный цикл. И при этих же параметрах надо найти первый интеграл системы.

[kolobok]

\[ \begin{gathered} \frac{{\partial v}} {{\partial t}} + A(z,t)\frac{{\partial v}} {{\partial t}} + B(z,t)w = - \frac{{\partial p}} {{\partial x}} + \Delta v \hfill \\ \frac{{\partial w}} {{\partial t}} + A(z,t)\frac{{\partial w}} {{\partial x}} = - \frac{{\partial p}} {{\partial z}} + \Delta w \hfill \\ \frac{{\partial w}} {{\partial x}} = - \frac{{\partial w}} {{\partial z}} \hfill \\ \end{gathered} \]

Помогите пожалуйста.
Требуется для этой системы применить теорему Флоке (потом решать численно).
Нигде не могу найти, как использовать её (теорему) для систем дифф. уравнений в частных производных. Книжку кто-нибудь подскажет?[/img]