Доказать предел последовательности

[Cynic]

В Демидовиче нашел такую задачу:
Доказать следующее равенство: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n}{{{2^{n - 1}}}} = 0$.
По идее мне нужно показать, что $\left| {\frac{n}{{{2^{n - 1}}}}} \right| < \varepsilon$ при $\varepsilon > 0$.
Для этой задачи не указано какие значения может принимать $n$, а значит я должен считать, что $n \in R$.
Я решал так:

$0 < \left| {\frac{n}{{{2^n}}}} \right| < \left| {\frac{n}{2}} \right| < \varepsilon$

$- \varepsilon < \frac{n}{2} < \varepsilon$

$- 2\varepsilon < n < 2\varepsilon$

Было бы $n \in N$ мне бы это выражение сразу не понравилось, но тут $n \in R$, следовательно ни чего криминально нет.
Вот решил Вас спросить всё ли я правильно понял.

[Brukvalub]

Ну вот, на другом форуме я ТС все по этой задаче разжевал, выяснилось, что он не понимает определения предела, сейчас здесь начнется то же самое.

[iou]

Для предела последовательности $n\in\mathbb{N}$ независимо сказано это или нет.

[gris]

В одном случае имеем последовательность, в другом — функцию действительного аргумента. Пусть будет функция. Вы показали,что в нуле она имеет нулевой предел. А задача про предел на бесконечности.

[iou]

Касательно доказательства:
Докажем более общий случай из которого и будет очевиден данный:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{n^p}{a^n}=0$$

$a=1+\alpha$, тогда $a^n=(1+\alpha)^n>\binom{p+1}{n}\alpha^{p+1}$, если $n>p$.
В конкретном случае имеем: $n>2p$, откуда $\binom{p+1}{n}=\frac{n(n-1)...(n-p)}{(p+1)!}>\frac{n}{(p+1)!}(\frac{n}{2})^p$.
Теперь Вам нужно написать неравенство для $\frac{n^p}{a^n}$ и сделать вывод.

[Brukvalub]

Я уже писАл ТС про бином, про оценку бинома снизу одним членом этого бинома и т.п. Позднее выяснилось, что ТС путается в дробях и не знает определения предела. Так что, пока он не научится складывать дроби и не разберет определение предела, все это бесполезно.

[ewert]

Про бином тут ровно не при чём даже пИсать, а вот что тут при чём.

Почему $a^n$ возрастает гораздо круче, чем просто эн. А попросту потому, что, для начала, два в степени эн гораздо круче (это по индукции, а дальше уж очевидно).

[Brukvalub]

ewert в сообщении #1071158 писал(а):

А попросту потому, что, для начала, два в степени эн гораздо круче (это по индукции, а дальше уж очевидно).

Я пока понял только одно:ewert настолько круче меня, что понять его, даже по индукции, я ни в силах.

[ewert]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1071162 писал(а):

что понять его, даже по индукции, я ни в силах.

И даже про двойку Вы не в силах меня понять?... -- извините, вот в это уж я не верю.

[Brukvalub]

Докладаю: на другом форуме ТС исправил свои ошибки, проявив себя настоящим бойцом! Написал там, что он занимается самостоятельно, что, на мой взгляд, достойно уважения и поддержки!

[RabbitXO]

(Оффтоп)

Теорему Штольца применить, как вариант(грубый).