Голоморфная функция

[MestnyBomzh]

Надо найти голоморфную функцию такую, что:
$\operatorname{Re} (f) = e^x \cdot (x \cdot \cos y - y \cdot \sin y)$, $f(0)=0$
Я решаю: по условиям Коши-Римана нахожу голоморфную функцию:

$$\begin{cases} u'_x=v'_y,\\ u'_y=-v'_x \end{cases}$$

Получаю, что система не имеет решения. Верно ли это?
И вообще, какой необходимый признак? Я подумал, что вот такой признак должен быть необходимым: $u''_{xy} = u''_{yx}$, это верно? Тут он, как раз таки, не выполнен

[provincialka]

То есть как? Смешанные производные равны при достаточно слабых предположениях!

Нет, признак не такой. Посмотрите в литературе или выведите сами. Там оператор Лапласа получается.

(Оффтоп)

Честно говоря, ответ очевиден... Прикиньте, какая функция/действие может дать такой результат?

[MestnyBomzh]

Лапласс? То есть сумма вторых производных равна нулю?
А, ну да. Достаточно было всмотреться в систему. Получилось $v=e^x \cdot x \cdot \sin y + e^x \cdot y \cos y + C_0$

[provincialka]

А сможете записать всю функцию как функцию от $z$ ? И $C_0$, кстати, надо найти.