Шестиугольник наиболее экономно замещает плоскость?

[ellipse]

Известно, что пчелиные соты шестиугольные, потому что это лучшая фигура для разбиения плоскости в том смысле, что суммарный периметр стенок минимальный при прочих равных. Думал, что доказательство несложное и всем известное. Но неглубокое гугление не дало никаких результатов. Доказан ли этот факт? Если да, то как?

[Nemiroff]

Ну а посчитать периметры треугольника, квадрата и шестиугольника?

[ellipse]

Nemiroff в сообщении #1070757 писал(а):

Ну а посчитать периметры треугольника, квадрата и шестиугольника?

Почему рассматриваем только правильные фигуры? И как строго показать, что другие правильные n-угольники не подходят для замощения?

[atlakatl]

Nemiroff в сообщении #1070757 писал(а):

посчитать периметры треугольника, квадрата и шестиугольника

И доказать, что это все правильные паркеты.
... ТС уже задал этот вопрос.
А почему мы ограничиваемся правильными многоугольниками? Вдруг пчёлы ошибаются, и существует паркет из криволинейных разнокалиберных фигур, замощающих плоскость экономнее?

[Nemiroff]

Если не только правильные, то нужно думать сильнее. Но вы же спросили про соты. Для "рукодельных" структур симметричность и выпуклость естественна, как мне кажется.

Почему только они --- ну подумайте, как правильные многоугольники должны сопрягаться на вершинах?

По поводу криволинейных фигур --- можете почитать статью http://arxiv.org/abs/math/9906042

[ellipse]

А как посчитать эффективность замощения для треугольника, квадрата и шестиугольника? Не очевидно, что отношение площади к периметру равно эффективности. Ведь фигур на плоскости много, у них есть смежные стороны. Может нужно выделить какие-то одинаковые самостыкующиеся области плоскости?

[Nemiroff]

ellipse в сообщении #1070765 писал(а):

А как посчитать эффективность замощения для треугольника, квадрата и шестиугольника?

Ну погодите. Вы же написали

ellipse в сообщении #1070755 писал(а):

потому что это лучшая фигура для разбиения плоскости в том смысле, что суммарный периметр стенок минимальный при прочих равных

что здесь "прочие равные"? И что есть "эффективность"?

[ellipse]

Nemiroff в сообщении #1070769 писал(а):

что здесь "прочие равные"? И что есть "эффективность"?

В том и проблема, что не очень понимаю, как строго определяется эффективность замощения или плотность упаковки. Подозреваю, что это в каком-то смысле предельное свойство.

Например:
Если один квадрат, то отношений общей площади к общей длине граней равно S/p = 1/4.
Если два квадрата, то S/p = 2/7, так как одна сторона общая.
Если три квадрата, то S/p = 3/10.
Если четыре квадрата, то S/p = 4/12 = 1/3.
и т.д.

[12d3]

ellipse в сообщении #1070770 писал(а):

В том и проблема, что не очень понимаю, как строго определяется эффективность замощения или плотность упаковки. Подозреваю, что это в каком-то смысле предельное свойство.

Можно определить так: ищем минимум безразмерной величины $\frac{P\sqrt{S_0}}{S}$, где $S_0$ - площадь одной ячейки, $S$ - площадь некой большой области, в которой находится много ячеек, $P$ - суммарная длина всех отрезков, являющихся сторонами ячеек(ну или не отрезков, а кривых каких-то) и находящихся внутри этой области. Величина этой безразмерной штуки зависит только от того, какой формы ячейки и как они друг с другом стыкуются.

[atlakatl]

12d3 в сообщении #1070773 писал(а):

ищем минимум безразмерной величины $\frac{P\sqrt{S_0}}{S}$

Проще найти минимум $P/S$ при $S=1$, скажем. Да, это круг, но им плоскость не замостить.

[ewert]

ellipse в сообщении #1070770 писал(а):

не очень понимаю, как строго определяется эффективность замощения или плотность упаковки.

Вот и никто не понимает. Но, главное, -- этого и не нужно понимать. Скажем, если соединить четыре точки отрезками, сходящимися в одной точке, то точка их соединения немедленно расползётся в отрезок, из каждого конца которого выходят два других, причём под углом именно 120 градусов. И уж это-то очевидно. А тогда и соты.

[Dan B-Yallay]

Самая плотная упаковка круглых цилиндров - гексагональная. Пчёлы может и не хотят шестиугольники или не задумываются - оно само получается.