Найти рациональные решения уравнения

[scwec]

Shadow, да, конечно. Исправил опечатку.
Заодно сообщаю, что эта же опечатка в книжке Андрееску с авторами "Введение в диофантовы уравнения" 2010 г.

[Коровьев]

Продолжим.
Приведённые формулы упрощаются при замене переменных

$\[ \left\{ \begin{array}{l} a = r + s \\ b = r - s \\ \end{array} \right. \] $

$$\[ x = \frac{{8r^3 + 8rs^2 + 4s}}{{\left( {1 + 2r^2 + 2s^2 } \right)^2 }} \]$

$$\[ y = - \frac{{8s^3 + 8sr^2 - 4r}}{{\left( {1 + 2r^2 + 2s^2 } \right)^2 }} \]$

$$\[ z = \frac{{1 - 2r^2 - 2s^2 }}{{1 + 2r^2 + 2s^2 }} \] $

А из них уже проще получить некоторые параметрические варианты решения уравнения

$\[ x^4 + y^2 + z^4 = 1 \] $

1)Тривиальный вариант

$\[ \left\{ \begin{array}{l} r = 0 \\ s = t^2 \\ \end{array} \right. \] $

$$\[ x = \frac{{2t}}{{1 + 2t^4 }},y = \frac{{ - 8t^6 }}{{\left( {1 + 2t^4 } \right)^2 }},z = \frac{{1 - 2t^4 }}{{1 + 2t^4 }} \]$

2)Не очень тривиальный вариант

$$\[ r = \frac{1}{2} \]$

$$\[ x = \frac{{4s + 2}}{{4s^2 + 3}},y = - \frac{{32s^3 + 8s - 8}}{{\left( {4s^2 + 3} \right)^2 }},z = \frac{{4s^2 - 1}}{{4s^2 + 3}} \]$

3)И очень нетривиальный вариант

$$\[ r = \frac{{16s^4 - 8s^2 - 32s + 1}}{{8\left( {2s + 1} \right)^2 }} \] $

Полученные при этом $r$ параметрические формулы очень громоздки, поэтому их не пишу.
Приведу цифровой пример по третьему варианту при $s=1$

$$\[ r = - \frac{{23}}{{72}} \] $

$$\[ \left( {\frac{{564}}{{1661}}} \right)^4 + \left( {\frac{{{\rm{318096}}}}{{{\rm{1661^2}}}}} \right)^2 + \left( {\frac{{{\rm{3121}}}}{{{\rm{8305}}}}} \right)^4 = 1 \]$

Конечно, найти все решения вряд ли возможно.
Но можно поискать среди найденных решений цифровые значения для $r$, при которых ранг числителя у $y$: $8s^3 + 8sr^2 - 4r$ не равен нулю.
А это эквивалентно существованию бесконечного количества решений в целых числах уравнения

$\[ a^4 + b^4 +c^4 = d^4 \]$

Мне известны только два варианта

$$\[ {\rm{414560}}^4 {\rm{ + 217519}}^4 {\rm{ + 95800}}^4 = {\rm{422481}}^4 \]$

$$\[ {\rm{769321280}}^4 {\rm{ + 606710871}}^4 {\rm{ + 558424440}}^4 = {\rm{873822121}}^4 \]$

Может кому-то повезёт!

[Коровьев]

Вот ещё интересная задачка
Решить в рациональных числах $x,y$

$$x^2 + y^2 = a^4 + b^4 $

[12d3]

Коровьев в сообщении #1072798 писал(а):

Вот ещё интересная задачка
Решить в рациональных числах $x,y$

$x^2 + y^2 = a^4 + b^4 $

А точно не $x^4 + y^4 = a^2 + b^2 $ ? А то слишком просто получается.

[Коровьев]

Нет, всё верно. Я потому и назвал её "задачкой", так как она очень простая.
Но её можно решить разными методами - школьным или с использованием элементов теории чисел. В этом случае она решается буквально в одну строчку.
(И выявится моя большая неточность в решении предыдущей задачи. )

[Коровьев]

В кольце целых Гауссовых чисел существуют только тривиальные единицы, т.е числа норма которых равна единице. Это числа $\pm 1, \pm i$.
Но вот в поле этих чисел уже существуют и не тривиальные единицы.

$$\[ \varepsilon \left( t \right) = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }} + \frac{{2t}}{{1 + t^2 }}i \]$

где $t$ любое рациональное число.

И приведённая задачка решается очень просто в одну строчку

$$\[ N\left( {x + yi} \right) = N\left( {a^2 + b^2 i} \right)N\left( {\varepsilon \left( t \right)} \right) = N\left( {\left( {\frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }}a^2 - \frac{{2t}}{{1 + t^2 }}b^2 } \right) + \left( {\frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }}b^2 + \frac{{2t}}{{1 + t^2 }}a^2 } \right)i} \right) \]$

Отсюда

$$\[ x = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }}a^2 - \frac{{2t}}{{1 + t^2 }}b^2 \]$

$$\[ y = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }}b^2 + \frac{{2t}}{{1 + t^2 }}a^2 \]$

Теперь перейдём к предыдущей задаче.
Там в решении было использовано тождество

$$\[ x^2 + y^2 = \left( {k^2 + t^2 } \right)\left( {1 + z^2 } \right) = \left( {k - tz} \right)^2 + \left( {t + kz} \right)^2 \] $

и было заявлено, что эти $x$ и $y$ представляют все решения. Но это, как видим из выше изложенного, далеко не так.
Все решения получаются из следующего соотношения

$$\[ N\left( {x + yi} \right) = N\left( {k + ti} \right)N\left( {1 + zi} \right)N\left( {\varepsilon \left( m \right)} \right) \]$

Откуда

$$\[ x = \left( {k - tz} \right)\frac{{1 - m^2 }}{{1 + m^2 }} - \left( {t + kz} \right)\frac{{2m}}{{1 + m^2 }} \]$

$$\[ y = \left( {t + kz} \right)\frac{{1 - m^2 }}{{1 + m^2 }} - \left( {k - tz} \right)\frac{{2m}}{{1 + m^2 }} \]$

И решение получается уже не двух параметрическим, а трёх параметрическим, что меня несколько настораживает.
А уж об окончательном виде полученных формул и говорить страшно

[Shadow]

Не согласен, замена переменных $(x,y)$ на $(k-tz,t+kz)$ абсолютно корректна и однозначна. Третий параметр - лишний Не принимает ссылку почему то:

[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+%28k-t*z%29%281-m^2%29%2F%281%2Bm^2%29-%28t%2Bk*z%29%282+m%29%2F%281%2Bm^2%29%3Da-b*z%2C%28t%2Bk*z%29%281-m^2%29%2F%281%2Bm^2%29-%28k-t*z%29%282+m%29%2F%281%2Bm^2%29%3Db%2Ba*z+for+a%2Cb[/url]

[Коровьев]

Пусть мы имеем для $x,y$
$$\[ x = \left( {k - tz} \right)\frac{{1 - m^2 }}{{1 + m^2 }} - \left( {t + kz} \right)\frac{{2m}}{{1 + m^2 }}=a-bz \]$

$$\[ y = \left( {t + kz} \right)\frac{{1 - m^2 }}{{1 + m^2 }} - \left( {k - tz} \right)\frac{{2m}}{{1 + m^2 }}=b+az \]$


Но $k,t$ у нас не являются независимыми переменными, они есть сложные функции от $m,n$. А $a,b$ здесь уже выступают как независимые переменные, поэтому появятся их значения, при которых для $m,n$ не найдётся рациональных значений.
Не математически грубо говоря - множество значений справа больше множества значений слева.
Как-то так.

[scwec]

Коровьев в сообщении #1070665 писал(а):

А из них уже проще получить некоторые параметрические варианты решения уравнения $x^4+y^2+z^4=1$

Приведу еще некоторые из бесконечного множества возможных параметризаций.
Из пункта 1. последовательно выращиваются:
$r=\dfrac{t^6}{2},s=t^2$,
$r=\dfrac{4(t^8+2)}{t^{10}}, s=t^2$,
$r=\dfrac{{t^6}(t^{16}-8t^8-16)}{8(t^8+2)^2}, s=t^2$,
$r=\dfrac{4{t^6}(t^8+2)(3t^{16}+24t^8+32)}{(t^{16}-8t^8-16)^2}, s=t^2$
и т. д.
Из пункта 2. последовательно выращиваются пункт 3. и далее следует
$r=\dfrac{(2304{s^8}+2048{s^7}+2304{s^6}+3072{s^5}+6624{s^4}+3712{s^3}+720{s^2}-384s+1)}{2(-3-48s-24{s^2}+16{s^4})^2}$
Дальше можно продолжать сколь угодно долго.
То же самое проделывается с числителем для $y$.
В частности пункт 3. для $y$ выглядит так $s=\dfrac{16r^4-8r^2+32r+1}{8(2r-1)^2}$
По поводу ранга. Эллиптические кривые $8r^3+8rs^2+4s=U^2$ для $x$ и $8s^3+8sr^2-4r=V^2$ для $y$ имеют положительный ранг для всех рациональных $s\ne{0}$ первая и для всех рациональных $r\ne{0}$ вторая.
Но из этого не следует существования бесконечного числа решений для уравнения $x^4+y^4+z^4=u^4$ даже если найдется рациональная пара $r,s$ общая для каких-то двух (из бесконечного числа) параметризаций двух указанных кривых.

[Коровьев]

scwec в сообщении #1074330 писал(а):

Но из этого не следует существования бесконечного числа решений для уравнения $x^4+y^4+z^4=u^4$ даже если найдется рациональная пара $r,s$ общая для каких-то двух (из бесконечного числа) параметризаций двух указанных кривых.

Совершенно верно. Это очередной мой косяк.

Теперь о "трёхпараметричности".
Хотя $x,y$ зависят от трёх параметров, получаемое $z$ уже не зависит от третьего внесённого параметра.
И если дать цифровое значение первым двум параметрам, то мы получим тождество
от одного переменного

$$\[ x^2 \left( m \right) + y^2 \left( m \right) + z_0^4 = 1 \]$

[AlexSam]

Можно попробовать решить уравнение ${z}^{4}+{y}^{2}+{x}^{2}=1$ по другому.
Преобразуем ${z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}=1$ через матрицу:

$\begin{pmatrix}a & b\,\left( -{z}^{2}-{y}^{2}+1\right) \cr b & a\end{pmatrix}$

далее характеристический полином: $${b}^{2}\,{z}^{2}+{b}^{2}\,{y}^{2}+{x}^{2}-2\,a\,x-{b}^{2}+{a}^{2}$
,заменяем $[a=y,b=z]$ (в замене нет никакой логики: просто так получилось решение).

Полученное уравнение имеет корни: $$x_{1}=\frac{2\,\left( {n}^{3}-m\,{n}^{2}+{m}^{2}\,n+n-{m}^{3}+m\right) }{{\left( {n}^{2}+{m}^{2}+1\right) }^{2}},x_{2}=\frac{2\,\left( {n}^{3}+m\,{n}^{2}+{m}^{2}\,n+n+{m}^{3}-m\right) }{{\left( {n}^{2}+{m}^{2}+1\right) }^{2}} $
(y и z не меняется).

А если находить $y$ из характеристического полинома имеем два корня:

$$[y=-\frac{z\,\sqrt{-{z}^{4}-{x}^{2}+1}-x}{{z}^{2}+1},y=\frac{z\,\sqrt{-{z}^{4}-{x}^{2}+1}+x}{{z}^{2}+1}] $.

Подставив в радикал $x$ и $z$ получим $y$.

[Коровьев]

Найти параметрическое решение диофантового уравнения от двух переменных $x,y$

$$\[ z^2 = x^3 + x\left( {y^2 - a^2 } \right) \] $
Здесь $a$ постоянное рациональное число.
Я не случайно поместил данную задачу в эту тему, так как в моём решении используется один из результатов этой темы.

[scwec]

Полагая $x=X^2$ и решая уравнение $X^4+y^2-a^2-t^4=0$
можно получить бесконечное множество частных 1-параметрических решений.
Например, $X=\dfrac{t(3a^4-4t^8)}{a^4+4t^8+8t^4{a^2}}$

$y=\dfrac{a(a^8-24t^4{a^6}-72t^8{a^4}-96t^{12}{a^2}-48t^{16})}{16t^{16}+64t^{12}{a^2}+72t^8{a^4}+16t^4{a^6}+a^8}$
и т.д.

[AlexSam]

Цитата:

Найти параметрическое решение диофантового уравнения от двух переменных $x,y$

$$z^2 = x^3 + x\left( {y^2 - a^2 } \right) $
Здесь $a$ постоянное рациональное число.
Я не случайно поместил данную задачу в эту тему, так как в моём решении используется один из результатов этой темы.

задача эквивалентна поиску рациональных решений уравнения:
${X}^{4}+{a}^{2}={Z}^{2}+{Y}^{2}$
где $a$ - постоянное рациональное число.

[Коровьев]

Можно найти все решения.

$$\[ z^2 = x^3 + x\left( {y^2 - a^2 } \right) \] $

Введём новую переменную $t$ такую, что

$$\[ z = xt \] $

Получим

$$\[ x^2 - xt^2 + y^2 - a^2 = 0 \] $

$$\[ x = \frac{{t^2 \pm \sqrt {t^4 - 4y^2 + 4a^2 } }}{2} \] $

Следовательно должно выполняться

$$\[ t^4 - 4y^2 + 4a^2 = d^2 \to d^2 + 4y^2 = t^4 + 4a^2 \] $

Аналогично ранее рассмотренной задачи находим решения и этого уравнения

$$\[ d = t^2 \frac{{1 - r^2 }}{{1 + r^2 }} + 2a\frac{{2r}}{{1 + r^2 }} \] $

$$\[ 2y = 2a\frac{{1 - r^2 }}{{1 + r^2 }} - t^2 \frac{{2r}}{{1 + r^2 }} \] $

Окончательно получим двухпараметрическое общее решение исходного уравнения

$$\[ x = \frac{{t^2 + 2ar}}{{1 + r^2 }},y = \frac{{t^2 r - a\left( {1 - r^2 } \right)}}{{1 + r^2 }},z = \frac{{t^3 + 2atr}}{{1 + r^2 }} \] $