ТФКП

[TripleLucker]

Здравствуйте, возникла проблема с такой задачей: Найти все аналитические функции $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ на комплексной плоскости $z = x+iy$, для которых ${u^2} + {v^2}$ есть функция, зависящая только от $x$.

Я записал первое данное условие таким образом: ${u^2} + {v^2} = g(x)$ и затем, используя УКР, пытался получить какое-либо уравнение на $g$, $u$ или $v$, но максимум, чего я достиг, это - $u_x^2 + u_y^2 = \frac{{{{({g^'}(x))}^2}}}{{4g}}$, что ничем не лучше начального условия на самом деле. Это получилось после того, как я продифференцировал один раз условие по $x$, затем по $y$, заменил две производные через УКР, возвел уравнения в квадрат и сложил. Пытался использовать разнообразные связи $u$ и $v$, и все равно ни к чему это не привело(дифференцировать несколько раз и прочее). Может, здесь нужно как-то совсем иначе действовать? Прошу помощи.

[VanD]

У Вас 3 уравнения на 2 функции - вот и решайте переопределённую систему.
Система будет состоять из условий Коши-Римана и уравнения $uu_y + vv_y = 0$.
Решать можно повышая порядок уравнений дифференцированиями и приравнивая смешанные производные в духе $u_{xy} = u_{yx}$.

[Red_Herring]

Ваша задача описать аналитические функции $f(z) $т.ч. $|f|^2=g(x)$. Тогда $2\operatorname{Re} \ln f = \ln g(x)$.

Подсказка: Что можно сказать про функцию в левой части?

[TripleLucker]

Red_Herring в сообщении #1070280 писал(а):

Ваша задача описать аналитические функции $f(z) $т.ч. $|f|^2=g(x)$. Тогда $2\operatorname{Re} \ln f = \ln g(x)$.

Подсказка: Что можно сказать про функцию в левой части?

В последнем выражении должен быть логарифм большой, наверное? тогда там будет стоять $ln|f|$, а она гармоническая. Я про то? Хотя это бессмыслица какая-то, логарифмирование вещественным было, так как обе части вещественные. :/

[Red_Herring]

TripleLucker в сообщении #1070341 писал(а):

тогда там будет стоять $ln|f|$, а она гармоническая.

Хорошо. А что справа? И когда такая функция будет гармонической?

[TripleLucker]

Red_Herring в сообщении #1070355 писал(а):

TripleLucker в сообщении #1070341 писал(а):

тогда там будет стоять $ln|f|$, а она гармоническая.

Хорошо. А что справа? И когда такая функция будет гармонической?

А, когда $\frac{{{d^2}(\ln (g(x)))}}{{d{x^2}}} = 0$.

Решая это уравнение, получаем $g(x) = {C_2}{e^{{C_1}x}}$. Тогда получается, что нам подходят все функции, у которых квадрат модуля равен этой $g(x)$

[Red_Herring]

Ну а дальше? Я что, должен подгонять Вас?

[TripleLucker]

Red_Herring в сообщении #1070411 писал(а):

Ну а дальше? Я что, должен подгонять Вас?

Теперь вид функции будет таким $f(z) = \sqrt {{C_2}{e^{{C_1}x}}} {e^{i\arg (f(z))}}$. Можно еще попробовать решить уравнение из топика, подставив туда $g(x)$, но это сложновато.

[Red_Herring]

Ужас! Итак, $\ln g $ линейная ф-я, т.е. аналитическая ф-я $\Ln f$ имеет вещественную часть $ax+b$. Тогда $\Ln f$ чему равна? Это последняя подсказка

[TripleLucker]

Red_Herring в сообщении #1070426 писал(а):

Ужас! Итак, $\ln g $ линейная ф-я, т.е. аналитическая ф-я $\Ln f$ имеет вещественную часть $ax+b$. Тогда $\Ln f$ чему равна? Это последняя подсказка

Воспользуемся УКР: ${u_x} = {v_y} = a \to v = ay + c(x)$, $ - {u_y} = {v_x} = 0 \to c'(x) = 0 \to c(x) = c$, $v = ay + c$. Тогда $f(z) = ax + b + i(ay + c) = az + b + ic = az + {z_0}$.

И, я так понимаю, что для именно моей задачи будет $f(z) = {e^{az + {z_0}}}$. Тогда в модуле такой функции $y$ пропадает из тригонометрического тождества.

[Red_Herring]

Следует указать какими д.б. две константы в $f(z)$

[TripleLucker]

Red_Herring в сообщении #1070522 писал(а):

Следует указать какими д.б. две константы в $f(z)$

$b = \ln \sqrt {{C_2}} ,a = \frac{{{C_1}}}{2}$, а $c$ - произвольная?

[Red_Herring]

TripleLucker в сообщении #1070526 писал(а):

$b = \ln \sqrt {{C_2}} ,a = \frac{{{C_1}}}{2}$, а $c$ - произвольная?

Вы написали: $f(z)= e^{az +z_0}$. Вот и укажите, какими д.б. эти две константы (вещественными, комплексными, по модулю равными 1, целыми, и т.д. и т.п.). Все остальные — это Ваше личное дело.

[TripleLucker]

Red_Herring в сообщении #1070551 писал(а):

TripleLucker в сообщении #1070526 писал(а):

$b = \ln \sqrt {{C_2}} ,a = \frac{{{C_1}}}{2}$, а $c$ - произвольная?

Вы написали: $f(z)= e^{az +z_0}$. Вот и укажите, какими д.б. эти две константы (вещественными, комплексными, по модулю равными 1, целыми, и т.д. и т.п.). Все остальные — это Ваше личное дело.

А, тогда $a$ - вещественная, $z_0$ - комплексная.

[Red_Herring]

OK