Вероятностное пространство без трив. независимых событий

[ProPupil]

Пусть задано вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal F, P)$. Всегда ли найдутся такие два события $A$ и $B$, такие, что:
1. $0 < P(A) < 1, 0 < P(B) < 1$
2. $A$ и $B$ независимы, т. е. $P(AB)=P(A)P(B)$?

[NSKuber]

Конечно, нет.
Однократный бросок монеты. 2 исхода, четыре события, из которых лишь два не являются тривиальными, и они зависимы.

[ProPupil]

В источнике присутствовал куда более красивый ответ... Жаль...

[arseniiv]

ProPupil в сообщении #1070402 писал(а):

В источнике присутствовал куда более красивый ответ...

А покажите-ка.

[ShMaxG]

У меня несколько вопросов, но начну с одного: что делает эта "задача" в олимпиадном разделе?

[ProPupil]

arseniiv в сообщении #1070416 писал(а):

ProPupil в сообщении #1070402 писал(а):

В источнике присутствовал куда более красивый ответ...

А покажите-ка.

Дело в том, что я посмотрел на решение, которое мне показалось очень красивым, и не удосужлися подумать, можно ли решить проще. Вот что там было представлено:

Пусть $\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n\}$, и

$$P(\omega_1) = 1 - (n-1)\varepsilon, P(\omega_k)=\varepsilon, k = 2,\dots,n$$

, где $\varepsilon$ - иррациональное число из интервала $(0,\frac{1}{n-1})$.

[arseniiv]

$n=1$, не?

ShMaxG в сообщении #1070422 писал(а):

что делает эта "задача" в олимпиадном разделе?

+1

[Lia]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ShMaxG]

ProPupil
Теперь, когда задача находится в ПРР, скажите, существуют ли множества $A,B$ с нужными свойствами в тривиальной сигма-алгебре, где всего два элемента?