Электрическое сопротивление неоднородного тела

[Andrey_Kireew]

Уважаемые участники форума помогите разобраться
имеется прямоугольное тело с неоднородмым распределением электропроводности, как показано на рисунке

есть все основания полагать, что интегральное электрическое сопротивление этого тела определяется как
$R=\frac{k}{\sqrt{\lambda_1\cdot\lambda_2}}$,
где $k$ - коэффициент, зависящий от геометрических размеров

такой результат получается при численном моделировании (совпадение очень хорошее) и возникает вопрос в его точности
можно ли прийти к этому выражению аналитическим путём?
буду рад ссылкам на источники полезной информации по этому поводу

[Sicker]

Вам надо решить уравнение $\operatorname{div}({\operatorname{grad} \varphi}\cdot \lambda)=0$ с заданными граничными условиями.

[Andrey_Kireew]

Sicker в сообщении #1070135 писал(а):

Вам надо решить уравнение $\operatorname{div}({\operatorname{grad} \varphi}\cdot \lambda)=0$ с заданными граничными условиями.

об этом я осведомлён

[Sicker]

Ну,вперед

[Munin]

Andrey_Kireew в сообщении #1070130 писал(а):

есть все основания полагать, что интегральное электрическое сопротивление этого тела определяется как
$R=\frac{k}{\sqrt{\lambda_1\cdot\lambda_2}}$,
где $k$ - коэффициент, зависящий от геометрических размеров

И какие же это основания?

[arseniiv]

Если допустить, что
• сопротивление зависит только от формы, но не размеров прямоугольника,
• при делении этой штуки на 4 прямоугольника кое-каким образом можно пренебречь отличием её от

(в чём я сомневаюсь, но лень проверять), если одна из штучек пренебрежимо маленькая,
то у меня получилась такая же формула.

-- Ср ноя 04, 2015 21:11:49 --

$k$ притом является отношением «длины» (не подключенной стороны) к «высоте» (подключенной).

[Munin]

Пока модераторы не отреагировали на кросспостинг, приведу ссылку на предыдущую тему:
«ошибка конечноэлементной модели»
По крайней мере, это поможет отсеять такие наивные прикидки, как у arseniiv.

[arseniiv]

Т. е. второе предположение неверно? Ну, неудивительно.

-- Ср ноя 04, 2015 21:23:18 --

(А я ведь ту тему смотрел и как-то не связал с этой…)

[Red_Herring]

Andrey_Kireew в сообщении #1070137 писал(а):

Sicker в сообщении #1070135 писал(а):

Вам надо решить уравнение $\operatorname{div}({\operatorname{grad} \varphi}\cdot \lambda)=0$ с заданными граничными условиями.

об этом я осведомлён

Хотя такая формулировка идеальна с точки зрения обобщённых функций, я не убеждён, что она хороша с точки зрения вычислений (ну кроме м.б. вариационного метода). Поэтому попробуйте решить её численно в следующем вуде:
\begin{align} &\Delta u_1 =0 &&\text{в\ \ } D_1,\\ &\Delta u_2 =0 &&\text{в\ \ } D_2,\\ &u_1=u_2, \quad \lamбda_1\frac{\partial u_1}{\partial n}=\lamбda_2\frac{\partial u_2}{\partial n} && \text{на\ \ }L \end{align}
плюс граничные условия на внешней границе, где $L$ "внутренняя граница" (раздел) и $n$ нормаль к ней.

[Andrey_Kireew]

Munin в сообщении #1070197 писал(а):

Andrey_Kireew в сообщении #1070130 писал(а):

есть все основания полагать, что интегральное электрическое сопротивление этого тела определяется как
$R=\frac{k}{\sqrt{\lambda_1\cdot\lambda_2}}$,
где $k$ - коэффициент, зависящий от геометрических размеров

И какие же это основания?

основания исключительно эмпирические, вот какое расхождение получается с теоретической кривой

данные я нормировал по 400-тому отсчёту, поэтому там ошибка и минимальная

учитывая простоту этой функции, подумал может существует аналитическое решение, решил посоветоваться со специалистами
как вы правильно заметили, истоки этой задачи лежат в теме "ошибка конечноэлементной модели",
численное решение мной давно молучено, точность достаточно хорошая, интересует именно существование аналитического решения

[vasya321]

Andrey_Kireew в сообщении #1070130 писал(а):

Уважаемые
есть все основания полагать, что интегральное электрическое сопротивление этого тела определяется как
$R=\frac{k}{\sqrt{\lambda_1\cdot\lambda_2}}$,
где $k$ - коэффициент, зависящий от геометрических размеров

Насколько я понимаю, ваша формула получена из соображений размерности (также для ёмкости двух проводников формула имеет вид $C = \varepsilon \varepsilon_0 k$, $[k]=м — коэффициент, зависящий от геометрических размеров). Чуть дальше продвинуться можно так: поскольку $k$ имеет размерность 1/м, то $k = f(1/H,1/L)$, где $H$ — высота электродов, $L$ — расстояние между электродами.

[Andrey_Kireew]

vasya321 в сообщении #1070316 писал(а):

Andrey_Kireew в сообщении #1070130 писал(а):

Уважаемые
есть все основания полагать, что интегральное электрическое сопротивление этого тела определяется как
$R=\frac{k}{\sqrt{\lambda_1\cdot\lambda_2}}$,
где $k$ - коэффициент, зависящий от геометрических размеров

Насколько я понимаю, ваша формула получена из соображений размерности (также для ёмкости двух проводников формула имеет вид $C = \varepsilon \varepsilon_0 k$, $[k]=м — коэффициент, зависящий от геометрических размеров). Чуть дальше продвинуться можно так: поскольку $k$ имеет размерность 1/м, то $k = f(1/H,1/L)$, где $H$ — высота электродов, $L$ — расстояние между электродами.

здесь суть не в размерности а в косой границе раздела сред
обратите внимание, что в знаменателе стоит квадратный корень из произведения электропроводностей, на ёмкость это распространить думаю никак нельзя
происхождение этой формулы исключительно эмпирическое, пытаясь аппроксимировать результаты численных расчётов я подбирал подходящие теоретические зависимости, сначала пробовал полиномы, потом экспоненты и логарифмы, только после этого попоробовал квадратный корень и оказалось что он подходит почти идеально, используется всего один свободный параметр k,
на мой взгляд врят ли такое может получиться случайно, видимо существует аналитическое решение задачи, но как к нему подступиться я не представляю, насколько я знаю аналитического решения такая задача не имеет
возможно кто то из специалистов поможет мне прояснить ситуацию,
вообще у меня есть подозрение что решение этой задачи уже давно известно, но сам ничего похожего найти не могу

[Munin]

Из соображений размерности можно получить любую $(\lambda_1^{a}\lambda_2^{2-a})^{-1/2}.$

[amon]

Munin в сообщении #1070337 писал(а):

Из соображений размерности можно получить любую $(\lambda_1^{a}\lambda_2^{2-a})^{-1/2}.$

Не. Эта штука симметрична относительно замены $\lambda_1$ на $\lambda_2$, поэтому будет что-то типа

$$\frac{F\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)}{\sqrt{\lambda_1\lambda_2}}$$

-- 05.11.2015, 01:20 --

К стати, если $\lambda_1\sim \lambda_2$, то получится формула ТС.

[Munin]

amon в сообщении #1070353 писал(а):

Не. Эта штука симметрична относительно замены $\lambda_1$ на $\lambda_2$

В том-то и дело, что нет. Посмотрите предыдущую тему. Одна из лямбд меньше, и поэтому вторая - критичней. Хотя, конечно, написанная мной формула не подходит при переходе через точку равенства лямбд.

-- 05.11.2015 01:38:47 --

$\bigl(\lambda_1^{a(\lambda_1/\lambda_2)}\lambda_2^{2-a(\lambda_1/\lambda_2)}\bigr)^{-1/2}$ какое-нибудь.