Геометрическое место середин хорд.

[camprier]

Помогите с задачей.
Найти геометрическое место середин хорд, проведенных из конца малой полуоси эллипса $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
Думаю, что там будет эллипс, меньший в 2 раза.

Составил систему уравнений и не знаю, что с ней дальше делать.
\begin{cases} y=kx+b\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \end{cases}

[Brukvalub]

camprier в сообщении #1070101 писал(а):

Составил систему уравнений и не знаю, что с ней дальше делать.
$\begin{cases} y=kx+b\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \end{cases}$

Как в первом уравнении системы учтено условие:

camprier в сообщении #1070101 писал(а):

геометрическое место середин хорд, проведенных из конца малой полуоси эллипса

?

[ewert]

camprier в сообщении #1070101 писал(а):

Составил систему уравнений и не знаю, что с ней дальше делать.

Дальше -- выкинуть. Причём любую систему. Просто поместите начало координат в ту точку эллипса, из которой исходят хорды, и ответ станет тривиальным.

[gris]

интересно, что можно решить чисто по-школьному, если вначале взять окружность, а потом поджать её до эллипса.

[iifat]

gris в сообщении #1070106 писал(а):

потом поджать

На кой? Результат простой вообще независимо от фигуры.

[gris]

Ну это уж девятый класс, гомотетия. А так — седьмой

[camprier]

Че-т я вообще не врубаюсь. Получилось уравнение: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{(y+b)^2}{b^2}=1$. И что с ним делать?

[gris]

Ну если уж Вам хочется пойти напрямик по зарослям, то из первого уравнения Вашей первой системы выразите поочерёдно икс и игрек, подставьте во второе уравнение, решите квадратные уравнения (можно теорему Виета использовать), найдите середину хорды (как функцию от $k$) и исключите это $k$. Там ничего сложного быть не должно. В итоге координаты середины свяжутся эллипсовидным соотношением.
Кстати, не забудьте, что Ваша система описывает далеко не все точки ГМТ .
И вообще Ваш ответ неправильный, если уж строго.

[Евгений Машеров]

Крутое обобщение:
Если взять произвольную точку P, из неё провести отрезок в произвольную точку Q произвольной фигуры и поделить в произвольном отношении $m:n$, то геометрическое место точек деления для всех точек Q, выбранных на этой фигуре, будет фигурой, подобной данной.
Жаль, изобретатель пантографа успел раньше...

[ewert]

gris в сообщении #1070121 писал(а):

И вообще Ваш ответ неправильный, если уж строго.

А чем точка не хорда?

[gris]

ну да, вырожденный случай. Предельным как-то не хочется называть. Хотя я бы при сдаче зачёта оговорочку сделал на всякий случай В школьной геометрии вырожденные случаи могут приводить к тому, что некоторые теоремы будут требовать ненужных уточнений. Ну, например, что серединный перпендикуляр к хорде окружности проходит чеерез её центр. С другой стороны, появляется необходимость уточнений в других местах.
В общем, согласен. Про эту точку лишнее. Но уж неописываемую системой оставите?