Производная функции-интеграла, зависящего от параметра

[ChymeNik]

Нужно вычислить вторую производную функции $u(x)=\int\limits_{0}^{1}f(x,y)dy, 0\leqslant x \leqslant 1$

$f(x,y)=$$\begin{cases} (x^2+2y^2)(1-y)cosy,&\text{если $x\leqslant y$;}\\ (2x^2+y^2)(1-x)cosy,&\text{если $x>y$;} \end{cases}$$

По формуле Лейбница получается, что $u''(x)=\int\limits_{0}^{1}f''_x(x,y)dy$
Но при $x=y$, насколько я понимаю, функция разрывна
Как получить окончательный ответ? просто продифференцировать обе функции, и указать, что производная существует при $x \ne y$ ?

Заранее спасибо за помощь

[provincialka]

А прямо вычислить интеграл нельзя?
Кстати, какого типа будет функция $u(x)$?

[ChymeNik]

provincialka в сообщении #1069899 писал(а):

А прямо вычислить интеграл нельзя?
Кстати, какого типа будет функция $u(x)$?

С прямым вычислением интеграла тоже не очень понятно, $f(x,y)$ будет разрывной при $x=y$, а как это учитывать при вычислении?

[arseniiv]

ChymeNik в сообщении #1069907 писал(а):

$f(x,y)$ будет разрывной при $x=y$

Почему? Сама-то $f$ непрерывна.

[provincialka]

Почему "разрывной"? Да и какая разница, разве разрывные функции нельзя интегрировать?
Вот посмотрите. Если $x\leqslant 0$, то с учетом $0\leqslant y \leqslant 1$ подынтегральная функция имеет вид $f(x,y) = a(y)x^2+b(y)$. Тогда $u(x)=Ax^2 + B$, где $A,B$ -- интегралы от $a(x), b(x)$ соответственно.
Ну, и для других промежутков можно такое представление найти.

-- 03.11.2015, 17:44 --

ChymeNik в сообщении #1069894 писал(а):

Но при $x=y$, насколько я понимаю, функция разрывна

Какая функция? $f$?
Думаю, вы имели в виду другое, что она задается разными формулами. Да, это приводит к некоторым сложностям при вычислении $u$. Но они преодолимы.

[ChymeNik]

provincialka в сообщении #1069918 писал(а):

Почему "разрывной"? Да и какая разница, разве разрывные функции нельзя интегрировать?
Вот посмотрите. Если $x\leqslant 0$, то с учетом $0\leqslant y \leqslant 1$ подынтегральная функция имеет вид $f(x,y) = a(y)x^2+b(y)$. Тогда $u(x)=Ax^2 + B$, где $A,B$ -- интегралы от $a(x), b(x)$ соответственно.
Ну, и для других промежутков можно такое представление найти.

-- 03.11.2015, 17:44 --

ChymeNik в сообщении #1069894 писал(а):

Но при $x=y$, насколько я понимаю, функция разрывна

Какая функция? $f$?
Думаю, вы имели в виду другое, что она задается разными формулами. Да, это приводит к некоторым сложностям при вычислении $u$. Но они преодолимы.

Но зачем рассматривать $x\leqslant 0$ ? у нас $0 \leqslant x \leqslant1$, как и y

[provincialka]

ChymeNik в сообщении #1069927 писал(а):

Но зачем рассматривать $x\leqslant 0$ ? у нас $0 \leqslant x \leqslant1$, как и y

Не заметила. Ну, не рассматривайте. Разбейте интеграл на два.

-- 03.11.2015, 18:15 --

Кстати, можно и не считать интеграл, а использовать более общую формулу дифференцирования, учитывающую наличие $x$ в пределах интегрирования.

[Otta]

provincialka в сообщении #1069929 писал(а):

Кстати, можно и не считать интеграл, а использовать более общую формулу дифференцирования, учитывающую наличие $x$ в пределах интегрирования.

Насколько я понимаю, с этой формулой как раз и проблемы: в наиболее известной ее формулировке она требует непрерывности производной по параметру на всем прямоугольнике, в данном случае $[0,1]\times[0,1]$. Но разбить можно. Разбить интеграл на два, множители повыносить и дифференцировать.

(Оффтоп)

А может, есть какая-то более общая формулировка (или контрпример, интересно)?