Определители.. Как оптимально вычислить?

[Tosha]

Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, разобраться.

1) Лучше этот определитель в лоб по первой строке через алгебраические дополнения раскрутить или вычитанием строк имеет смысл заниматься? Попробовал вычитать, строчки, но толкового ничего не вышло.

$\begin{vmatrix} a&x &x&x \\ y&a &x&x \\ y&y &a&x\\ y &y&y&a\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a-y&x-a &0&0 \\ y&a &x&x \\ y&y &a&x\\ y &y&y&a\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a-y&x-a &0&0 \\ 0&a-y &x-a&0 \\ y&y &a&x\\ y &y&y&a\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a-y&x-a &0&0 \\ 0&a-y &x-a&0 \\ 0&0 &a-y&x-a\\ y &y&y&a\\ \end{vmatrix}=$


$=\begin{vmatrix} a-y&x+y-2a &0&0 \\ 0&a-y &x-a&0 \\ 0&0 &a-y&x-a\\ y &0&y&a\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a-y&x+y-2a &y-a&0 \\ 0&a-y &x-a&0 \\ 0&0 &a-y&x-a\\ y &0&0&a\\ \end{vmatrix}$

От $a_{41}$ не получается избавиться.

2) Лучше этот определитель в лоб по первой строке через алгебраические дополнения раскрутить или вычитанием строк имеет смысл заниматься.

$$\begin{vmatrix} 1&a &a^2&bca \\ 1&b &b^2&acd \\ 1&c &c^2&abd\\ 1 &d&d^2&abc\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&0 &a^2&bca \\ 1&b-a &b^2&acd \\ 1&c-a &c^2&abd\\ 1 &d-a&d^2&abc\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&0 &a^2&0 \\ 1&b-a &b^2&acd-bca \\ 1&c-a &c^2&abd-bca\\ 1 &d-a&d^2&abc-bca\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&0 &0&0 \\ 1&b-a &b^2-a^2&acd-bca \\ 1&c-a &c^2-a^2&abd-bca\\ 1 &d-a&d^2-a^2&abc-bca\\ \end{vmatrix}$$

$$=\begin{vmatrix}1&0 &0&0 \\ 0&b-a &b^2-a^2&acd-bca \\ 0&c-a &c^2-a^2&abd-bca\\ 0 &d-a&d^2-a^2&abc-bca\\ \end{vmatrix}$$

Других идей пока что нет

[tolstopuz]

Во втором определителе в $a_{14}$ случайно не опечатка? Может, $bcd$?

А первый после всех преобразований довольно просто раскладывается по последней строке или столбцу.

[Tosha]

tolstopuz в сообщении #1069727 писал(а):

Во втором определителе в $a_{14}$ случайно не опечатка? Может, $bcd$?

А первый после всех преобразований довольно просто раскладывается по последней строке или столбцу.

Да, опечатка, спасибо. А как со вторым?

[tolstopuz]

Tosha в сообщении #1069729 писал(а):

А как со вторым?

Вторая строка делится на $b-a$, можно вынести. И так далее.

-- Вт ноя 03, 2015 02:36:43 --

В первом мне как-то удалось получить лишний ноль, не нарушив красоты:

- вычитаем последнюю строку из остальных;
- вычитаем первый столбец из остальных;
- вычитаем второй столбец из третьего и четвертого;
- вычитаем третий столбец из четвертого.

[Tosha]

tolstopuz в сообщении #1069733 писал(а):

Tosha в сообщении #1069729 писал(а):

А как со вторым?

Вторая строка делится на $b-a$, можно вынести. И так далее.

Спасибо, но не делится!

[TOTAL]

Tosha в сообщении #1069719 писал(а):

$$\begin{vmatrix} 1&a &a^2&bcd \\ 1&b &b^2&acd \\ 1&c &c^2&abd\\ 1 &d&d^2&abc\\ \end{vmatrix}= - \begin{vmatrix} 1&a &a^2&a^3 \\ 1&b &b^2&b^3 \\ 1&c &c^2&c^3\\ 1 &d&d^2&d^3\\ \end{vmatrix}$$

Дальше очевидно (определитель Вандермонда)

[tolstopuz]

Tosha в сообщении #1069776 писал(а):

Спасибо, но не делится!

Я про вид после преобразований - там делится.

[Tosha]

TOTAL в сообщении #1069782 писал(а):

Tosha в сообщении #1069719 писал(а):

$$\begin{vmatrix} 1&a &a^2&bcd \\ 1&b &b^2&acd \\ 1&c &c^2&abd\\ 1 &d&d^2&abc\\ \end{vmatrix}= - \begin{vmatrix} 1&a &a^2&a^3 \\ 1&b &b^2&b^3 \\ 1&c &c^2&c^3\\ 1 &d&d^2&d^3\\ \end{vmatrix}$$

Дальше очевидно (определитель Вандермонда)

А каким образом получилось такое преобразование?

-- 03.11.2015, 12:58 --

Исправляю опечатку:

Если какие-то из чисел множества $\{a,b,c,d\}$ совпадают, то определитель равен нулю, далее считаем, что нет совпадающих в рассуждениях.

$$=\begin{vmatrix}1&0 &0&0 \\ 0&b-a &b^2-a^2&acd-bcd \\ 0&c-a &c^2-a^2&abd-bcd\\ 0 &d-a&d^2-a^2&abc-bcd\\ \end{vmatrix}=\dfrac{1}{(b-a)(c-a)(d-a)}\begin{vmatrix}1&0 &0&0 \\ 0&1 &a+b&cd \\ 0&1 &a+c&bd\\ 0 &1&a+d&bc\\ \end{vmatrix}=\dfrac{1}{(b-a)(c-a)(d-a)}\begin{vmatrix} 1 &a+b&cd \\ 1 &a+c&bd\\ 1&a+d&bc\\ \end{vmatrix}=$$

$$=\dfrac{1}{(b-a)(c-a)(d-a)}\begin{vmatrix} 1 &a+b&cd \\ 1 &a+c&bd\\ 1&a+d&bc\\ \end{vmatrix}=$$

$=\dfrac{1}{(b-a)(c-a)(d-a)}\begin{vmatrix} 1 &a+b&cd \\ 0 &c-b&bd-cd\\ 0&d-b&bc-cd\\ \end{vmatrix}=\dfrac{1}{(b-a)(c-a)(d-a)(b-c)(b-d)}\begin{vmatrix} 1 &a+b&cd \\ 0 &-1&d\\ 0&-1&c\\ \end{vmatrix}$

$$=\dfrac{1}{(b-a)(c-a)(d-a)(b-c)(b-d)}\begin{vmatrix} 1 &a+b&cd \\ 0 &-1&d\\ 0&0&c-d\\ \end{vmatrix}=\dfrac{d-c}{(b-a)(c-a)(d-a)(b-c)(b-d)}$$

[TOTAL]

Tosha в сообщении #1069808 писал(а):

А каким образом получилось такое преобразование?

Какую-то строку умножить на $a$, какой-то столбец поделить на $a$. Ещё на $b,c,d$.

[Tosha]

А правильный ли ответ?

$\dfrac{d-c}{(b-a)(c-a)(d-a)(b-c)(b-d)}$

Точнее такой: Я там ошибся, нужно не в знаменатель было ставить, а в числитель.

$(d-c)(b-a)(c-a)(d-a)(b-c)(b-d)$

-- 03.11.2015, 13:20 --

Понял про вандермонда)