Полнота функций

[LynxGAV]

Доказательство полноты это чисто математическая задача и к физике имеет слабое отношение. (Слушай, а вот нафиг тебе сдался потенциал в виде дельта-функции? Интересно стало, да? Так, интересно, ты читал один из самых последних параграфов ЛЛ по нерелятивистской квантовой механике о рассеянии нейтронов?)

Я что говорила: "Давай рассмотрим физическую систему -- квантовый осциллятор. Давай рассмотрим атом водорода (прикинь, с ними я тоже возилась, почти с них все и началось)"? Не было такого. Я говорила, давай возьмем функции в математическом, между прочим, разделе. Мне это интересно, потому что мне это интересно и ничего более. Короче, тут мне это уже не интересно, этим вопросом я, пожалуй, буду заниматься наедине с самой собой.

Приведи монографии, в которых вопрос полноты конкретных функций рассматривается со всей строгостью, в которых есть доказательства не в общем виде. Давай функции Штурма.. и т.п. Буду благодарна.

Котофеич, тождество не моё и не тождество оно вообще. (Замечание .)

[Аурелиано Буэндиа]

LynxGAV писал(а):

Я что говорила: "Давай рассмотрим физическую систему -- квантовый осциллятор. Давай рассмотрим атом водорода (прикинь, с ними я тоже возилась, почти с них все и началось)"? Не было такого. Я говорила, давай возьмем функции в математическом, между прочим, разделе. Мне это интересно, потому что мне это интересно и ничего более. Короче, тут мне это уже не интересно, этим вопросом я, пожалуй, буду заниматься наедине с самой собой.

Ну как же не помочь девушке!

Sturmian basis functions for the harmonic oscillator
Completeness of the Dirac oscillator eigenfunctions
Remarks on completeness of many-electron Sturmians

а это читала?

[LynxGAV]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Sturmian basis functions for the harmonic oscillator

Только открыла. Свежак буквально -- 2000 г. По первому впечатлению задача Штурма-Лиувилля. Ни на что так не обратила внимание, зато у них есть xx´, которое у меня тоже вылезло. Подозреваю, это тоже самое. Буду смотреть. Спасибо.

И другие тоже буду смотреть. Я не искала в интернете, только на бумаге, поэтому сравним.

[Аурелиано Буэндиа]

LynxGAV писал(а):

И другие тоже буду смотреть. Я не искала в интернете, только на бумаге, поэтому сравним.

Если что задавай вопросы

[V.V.]

LynxGAV писал(а):

кто-то встречал доказательство в литературе?

Посмотрел Рида, Саймона. Там (том 2) задача про полноту функций Эрмита является упражнением.

[LynxGAV]

Polinomov Ermita ili funktsiy garm. ostsillytora?
Navernoe, nikto nicherta krome menya ne ponyal, chego ya hochu.
Kak dokazat´ dlya etoi prostoi sistemi ya i tak znayu.
1. Napisat´polinomi v yavnom vide, dlya gaussiani primenit´ preobrazovanie Fur´e.
2. Osnovano na tom, chto $\psi$ sama takova, chto ee mojno razlojit´ po ortogonal´nim polinomam. Ispol´zuya eti dva fakta i odno smeshnoe do ne hochu, no pochti ne vstrechayushee v literature predstavlenie delta-funktsii, poluchaem jelaemoe.
Dal´she budet..

[V.V.]

LynxGAV писал(а):

Polinomov Ermita ili funktsiy garm. ostsillytora?

Функции Эрмита.

LynxGAV писал(а):

Navernoe, nikto nicherta krome menya ne ponyal, chego ya hochu.

Наверное, Вы так написали.
Учитесь писать так, чтобы Вас понимали!

Кстати, а преобразование Фурье обязательно? Нельзя разве через производящую функцию?

[LynxGAV]

Mojet, Vi mne skajete, poka ya domoi doidu, chto tam za dokazatel´stvo s pomosh´yu proizvodyashei funktsii. Ya proizvodyashie funktsii vseh polinomov upomnit´ ne mogu, no etih kajetsya exp (t^2 - 2tx) .

Sluchaino sterla predidushee soobshenie, no nadeyus´, Vi ego uspeli prochitat´.

PS Eshe sprashivala, eti li funktsii $\psi_n (x) = \frac {1}{\sqrt {2^n n! \sqrt {\pi}}}e^{-\frac{x^2}{2}}H_n (x)$? Obozvat´ mojno kak ugodno, ne mogu seichas posmotret´, kak tam v ih tekste.

Proizvodyashaya funktsiya mne viditsya takoi, potomu chto vo mnogih dokazatel´stvah polezno videlyat´ polniy kvadrat. Poka jdu..

[V.V.]

Да, эти. Я предпочитаю называть их фунциями Эрмита, чтобы не возникало желание говорить в связи с ними только об осцилляторе.

Для многочленов Эрмита производящая функция $e^{2xt-t^2}$. Для функций понятно как меняется.

Идея доказательства с производящими функциями такая:
Рассмотрим $\sum\psi_n(x)\psi^*_n(y)z^n$. А потом рассмотрим предел этой суммы при $z\to 1-0$.

[LynxGAV]

Ne ugadala znak, a chego gadala, kogda mojno proverit´ yavlyaetsya proizvodyashei ili net. Spasibo.