Олимпиада им. Лобачевского, 2014 год

[provincialka]

Олимпиада проводится ежегодно 1 декабря, в честь дня рождения Н.И.Лобачевского. Задачи не делятся по курсам. Подведение итогов идет как индивидуально, так и командно (по 5 лучшим работам от команды).

Задача 1. Пусть $f(x) =\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$. Найдите значение $f^{(100)}(0)$.

Задача 2. Рассмотрим все (комплексные) корни уравнения $x^{2014}+2015x+2016=0$. Найдите сумму их 2014-ых степеней.

Задача 3. Какой из интегралов больше, $I_1=\int\limits_0^{\pi/2}\cos(\sin x)dx$ или $I_2=\int\limits_0^{\pi/2}\sin(\sin x)dx$?

Задача 4. Квадратная матрица $A$ размера $20 \times20$ невырождена. Какое наименьшее значение может иметь ранг подматрицы $12 \times 13$ матрицы $A$? (подматрица получается вычеркиванием из $A$ некоторых строк и столбцов).

Задача 5. Найти предел $\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{\sum_1^n k^k}{n^n}$.

Задача 6. В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, причем $\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{0}$. Докажите, что треугольник равносторонний.

Задача 7. Неразборчивый жених женится на первой желающей выйти за него замуж, а потом, как только встретит более привлекательную партию, оформляет развод и заключает новый брак. Потенциальные $n$ невест (женщин, не возражающих против брака с ним) могут быть строго ранжированы по своей привлекательности, но встречаются жениху в случайном порядке, все их перестановки равновероятны. Хватит ли в среднем места в паспорте жениха для простановки всех штампов о браках и разводах, если $n = 50$, а паспорт вмещает всего 5 штампов о браках (вместе с 4 штампами о разводах)?

Задача 8. Пусть функции $f$ и $g$ заданы на всей числовой прямой. Может ли оказаться так, что $f(g(x)) = x^2$, а $g(f(x)) = x^3$ для всех $x \in \mathbb R$?

Задача 9. В каждой строке невырожденной квадратной $n \times n$ матрицы $A$ стоит только одно отличное от 0 число, равное $+1$ или $-1$. Докажите, что найдется такое $m$ при котором $A^m = A^T$.

Задача 10. Рассмотрим множество неупорядоченных пар точек окружности. Наделим его естественной топологией (топологией произведения, фактор-топологией). Докажите, что полученное множество гомеоморфно листу Мёбиуса.

[iifat]

3, похоже, самое простое. Поскольку все они удовлетворяют уравнению, $\sum{x_i^{1024}}=-2015\sum x_i-2016\times1024$, а поскольку сумма равна 0, то...

-- 01.11.2015, 17:21 --

А вот забывать $dx$... Какой пример вы подаёте детям!

[provincialka]

iifat спасибо, исправлю...
Честно говоря, я и сама это $dx$ не всегда ставлю, особенно в теории... Зачем оно? И так ясно, по какой мере идет интегрирование.
И, конечно, в исходном тексте оно было, просто он не на $\TeX$.

[mihiv]

3. $I_1>\int \limits _0^{\frac {\pi }2}\cos (1)dx=\cos (1)\frac {\pi }2>1, I_2<\int \limits _0^{\frac {\pi }2}\sin xdx=1$, т.е. $I_1>I_2$.

[provincialka]

mihiv А неравенство $\cos(1)>\frac2\pi$ разве верное? Калькулятор этого не показывает!

[mihiv]

mihiv в сообщении #1069110 писал(а):

3. $I_1>\int \limits _0^{\frac {\pi }2}\cos (1)dx=\cos (1)\frac {\pi }2>1, I_2<\int \limits _0^{\frac {\pi }2}\sin xdx=1$, т.е. $I_1>I_2$.

provincialka, да, забыл, чему равен $\cos (1)$.

[iancaple]

1-я и 4-я тоже простые
1.

$$\frac{x^3 -x^2+1}{x^3 +x^2+1}=1-2x\frac 1{x^3 +x^2+1}=1-2x(1-x)\frac 1{1-x^3}=1-2x(1-x)\sum_{k=0}^{\infty}x^{3k}=$$

$$=1-2\sum_{k=0 }^{\infty}x^{3k+1}+2\sum_{k=0 }^{\infty}x^{3k+2}=...-2x^{100}+...$$

Отсюда $f^{(100)}(0)=-2\cdot 100!$
4.Линейный оператор взаимно-однозначный. Размерность образа нужных нам $12$ базисных векторов $d_1=12$, размерность пространства на $13$ базисных векторах $d_2=13$, размерность их пересечения не менее $d_1 +d_2-20=5$, значит и ранг не менее пяти. Пример можно взять в единичной матрице.

Надеюсь, мы со всеми разберемся, что-то не все так весело. Если с НГУ проблем не было, то тут...

[provincialka]

iancaple
Ну, мы нарочно стараемся и легкие, и трудные задачи давать... Не предполагается, что хоть кто-то решит всё! Просто для разнообразия... Люди могут домой задачки унести, еще подумать...

[RIP]

3) $I_1>\int_0^{\pi/2}\cos x\,\mathrm dx=\int_0^{\pi/2}\sin x\,\mathrm dx>I_2$.

(Оффтоп)

Нужно было взять $I_1=\int_0^{\pi/2}\cos(\cos x)\,\mathrm dx$ или $I_2=\int_0^{\pi/2}\sin(\cos x)\,\mathrm dx$: и хитрее, и симпатичнее.

[provincialka]

Мне кажется, что 5-ая задача тоже несложная. У шестой есть короткое решение, но, честно говоря, когда я готовила решения к печати, мне пришлось-таки в авторское подглядывать... Не очевидно там всё...

[RIP]

Ну, в 5 очевидно, чё $\lim=1$: $\sum_1^nk^k<(n-2)n^{n-2}+n^{n-1}+n^n$.

[мат-ламер]

По поводу седьмой задачи о неразборчивом женихе вспомнил, что есть задача о разборчивой невесте. И число $e$ там каким-то боком вылазит. Но невеста та выходит замуж всего один раз. Тут есть ссылка на брошюру Гусейна-Заде.

[ewert]

provincialka в сообщении #1069031 писал(а):

Докажите, что найдется такое $m$ при котором $A^m = A^T$.

Или, что эквивалентно: что найдется такое $m$, при котором $A^m = E$ -- матрица-то ортогональна. Но она не просто ортогональна: это ещё и произведение диагональной матрицы $D$ с плюс-минус единицами на диагонали на матрицу перестановок $P$, причём первую можно проносить через вторую. С перестановкой минусов на диагонали, да; но главное -- что отсюда $A^m=\widetilde D\cdot P^m$ с какой-то диагональной $\widetilde D$. И остаётся только выбрать $P^m=E$, после чего возвести в квадрат.

[iifat]

provincialka в сообщении #1069141 писал(а):

У шестой есть короткое решение, но, ... Не очевидно там всё...

Хм. Мне всё лень расписать, начиная с $\vec{AA_1}=\frac{|AB|\vec{AC}+|AC|\vec{AB}}{|AB|+|AC|}$ и просуммировав. По идее, должно получиться, не?

[RIP]

provincialka в сообщении #1069031 писал(а):

Задача 8. Пусть функции $f$ и $g$ заданы на всей числовой прямой. Может ли оказаться так, что $f(g(x)) = x^2$, а $g(f(x)) = x^3$ для всех $x \in \mathbb R$?

Из второго равенства следует, что $f(x)$ инъективна. Подставляя в первое равенство $x=f(y)$, получаем $f(y^3)=\bigl(f(y)\bigr)^2$, откуда получаем, что уравнение $z=z^2$ имеет три различных корня $f(0),f(\pm1)$. Противоречие.