Упрощение доказательства неравенства

[MrDarkness]

Добрый день, суть:

$$2\sum\limits_{1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^3} < \sqrt{\dfrac{3}{2}}-\frac{3}{4}$$$

Я доказал это через частный случай дзета-функции для $s = 3$ , но для упрощения доказательства ( по идее задача должна решаться школьными методами )
требуется найти ряд, сумма которого равна $\frac{1}{5}$ и каждый член которого больше соответствующего члена исходного ряда. При этом вычисление суммы нужного ряда должна быть принципиально простой и факт того, что член исходного ряда меньше соответствующего члена нужного ряда должен также легко доказываться.
Заранее спасибо.

Deggial: все формулы и термы оформляем $\TeX$ом. Поправил.

[Brukvalub]

Попробуйте оценить сверху несобственным интегралом, как это делается в интегральном признаке сходимости ряда.

[iifat]

MrDarkness в сообщении #1068701 писал(а):

по идее задача должна решаться школьными методами

Brukvalub в сообщении #1068760 писал(а):

Попробуйте оценить сверху несобственным интегралом

Вы, наверное, в школе были очень умным мальчиком?

[Brukvalub]

iifat в сообщении #1068779 писал(а):

Вы, наверное, в школе были очень умным мальчиком?

Да, я учился у профессора Г.И. Архипова, который в тот момент подрабатывал учителем и учил нас рядам, несобственным интегралам о оценкам нулей дзета-функции Римана. Кстати, а разве вас, iifat, не учили в 9-м классе оценивать сверху одни ряды другими? Это же входит в программу 2-й четверти!

-- Сб окт 31, 2015 19:26:24 --

Если же говорить серьезно, то понятно, что фраза

MrDarkness в сообщении #1068701 писал(а):

по идее задача должна решаться школьными методами

может быть расшифрована только как "задачу нужно решить наиболее простым из доступных методов", а не буквально, поскольку школьники умеют суммировать только геометрические прогрессии и специально подобранные "телескопические" суммы, но предложенный ряд сходится неспешно, поэтому прогрессией его не оценить, да и телескопии мне здесь не видно.

[NSKuber]

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^3} = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{8n^3 + 12n^2 + 6n + 1} \leq \frac{1}{8}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3+n^2} \leq \frac{1}{8}(1 + \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n-1)})$$

Дальше раскладываем на простые множители и считаем "по-школьному". Такой грубости хватает. Сумма, конечно, выходит меньше $\frac{1}{5}$, но если сильно нужно, можно множитель перед всем ещё огрубить.

[MrDarkness]

Спасибо

[Brukvalub]

Ну вот, меня и посрамили, предъявив "телескопический" метод.

[iifat]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1068783 писал(а):

Это же входит в программу 2-й четверти!

Я с трудом таки помню, чему меня учили. Но вот когда, да ещё и с точностью до четерти — даже не пытаюсь. Вообще не помню, чтоб в школе учили интегралам. Хотя могу и ошибаться.