Зеркальность “∪” и “∩”.

[nou]

Всем привет, я наткнулся на задачу по теории множеств:
Докажите, что если в тождестве, использующем только знаки объединения и пересечения заменить все символы “∪” на “∩”, а “∩” на “∪”, то оно останется верным.
Я не знаю как её решить, поэтому прошу натолкнуть меня на решение. Вот мои мысли:
1) Простые такие тождества - "дистрибутивность" пересечения относительно объединения и наоборот. Если, например, взять тождество $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ и сменить знаки, то получим очевидно верное тождество $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$. Ясно, что обратно тоже верно. Есть также важные отдельные случаи, если $A\cap (A\cup B)=A$, то при смене знаков получится верное тождество $A\cup (A\cap B)=A$. Ясно, что обратно тоже верно.
2)Представим тождества, использующие “∪” и “∩”, в самом общем плане примерно так:

$$A_1=A\cap...\cap (B\cap (C\cup D)\cup E\cup...\cup Z)=A'\cap...\cap (B'\cap (C'\cup D')\cup E'\cup...\cup Z')=A_2$$

$$B_1=A\cup...\cup (B\cup (C\cap D)\cap E\cap...\cap Z)=A'\cup...\cup (B'\cup (C'\cap D')\cap E'\cap...\cap Z')=B_2$$

Пусть если $A_1=A_2$ ($B_1=B_2$) - верно, то $B_1=B_2$ ($A_1=A_2$) - тоже верно.
Тогда переход, что если $A_1\cap X_0=A_2\cap X_0$ - верное тождество, то $B_1\cup X_0=B_2\cup X_0$ - тоже верное тождество очевиден, как и обратный.

Хотелось бы узнать насколько такое док-во правдоподобно.

[ewert]

nou в сообщении #1068472 писал(а):

Докажите, что если в тождестве, использующем только знаки объединения и пересечения заменить все символы “∪” на “∩”, а “∩” на “∪”, то оно останется верным.

Примените два раза операцию "не".

А, да, ещё: там понадобится также то, что в отношении дистрибутивности что "и", что "или" -- равноправны.

[nou]

ewert, если $A\cap...\cap B\cap (C\cup D)\cup E\cup...\cup Z=A'\cap...\cap B'\cap (C'\cup D')\cup E'\cup...\cup Z'$ - верное тождество, то $\neg (A\cap...\cap B\cap (C\cup D)\cup E\cup...\cup Z)=\neg (A'\cap...\cap B'\cap (C'\cup D')\cup E'\cup...\cup Z')$ - тоже верное тождество. Пользуясь законом Де Моргана, получаем, что

$$\neg A\cup...\neg B \cup (\neg C\cap \neg D)\cap \neg E\cap...\cap \neg Z=\neg A'\cup...\neg B' \cup (\neg C'\cap \neg D')\cap \neg E'\cap...\cap \neg Z'$$

Под $\neg A$ понимается дополнение $A$ до $M_0$, где $M_0$ - некоторый универсум. Пользуясь тем, что полученное выше равенство - тождество, в качестве мн-ва $A$ можно взять $\neg A$, так поступим с каждым мн-вом, входящем в полученное равенство. ($\neg(\neg A)=A$)
Тогда полученное равенство примет вид: $A\cup...B \cup (C\cap D)\cap E\cap...\cap Z=A'\cup...B' \cup (C'\cap D')\cap E'\cap...\cap Z'$. Ясно, что в обратную сторону всё аналогично. Таким образом мы показали, что если в тождестве, использующем только знаки объединения и пересечения заменить все символы “∪” на “∩”, а “∩” на “∪”, то оно останется верным.
Отметим также, что в решении используется равноправность пересечения и объединения в отношении дистрибутивности, то есть можно раскрывать скобки когда в них стоит “∪”, а вне их - “∩”, а можно и наоборот.

[Deggial]

nou в сообщении #1068698 писал(а):

“∩” на “∪”

nou, оформляйте все формулы и термы $\TeX$ом, иначе тема поедет в Карантин.

[nou]

Deggial, понял Вас.

[nou]

Всё ли правильно в решении выше?