2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Зеркальность “∪” и “∩”.
Сообщение30.10.2015, 18:47 


12/06/14
28
Всем привет, я наткнулся на задачу по теории множеств:
Докажите, что если в тождестве, использующем только знаки объединения и пересечения заменить все символы “∪” на “∩”, а “∩” на “∪”, то оно останется верным.
Я не знаю как её решить, поэтому прошу натолкнуть меня на решение. Вот мои мысли:
1) Простые такие тождества - "дистрибутивность" пересечения относительно объединения и наоборот. Если, например, взять тождество $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ и сменить знаки, то получим очевидно верное тождество $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$. Ясно, что обратно тоже верно. Есть также важные отдельные случаи, если $A\cap (A\cup B)=A$, то при смене знаков получится верное тождество $A\cup (A\cap B)=A$. Ясно, что обратно тоже верно.
2)Представим тождества, использующие “∪” и “∩”, в самом общем плане примерно так:
$$A_1=A\cap...\cap (B\cap (C\cup D)\cup E\cup...\cup Z)=A'\cap...\cap (B'\cap (C'\cup D')\cup E'\cup...\cup Z')=A_2$$
$$B_1=A\cup...\cup (B\cup (C\cap D)\cap E\cap...\cap Z)=A'\cup...\cup (B'\cup (C'\cap D')\cap E'\cap...\cap Z')=B_2$$
Пусть если $A_1=A_2$ ($B_1=B_2$) - верно, то $B_1=B_2$ ($A_1=A_2$) - тоже верно.
Тогда переход, что если $A_1\cap X_0=A_2\cap X_0$ - верное тождество, то $B_1\cup X_0=B_2\cup X_0$ - тоже верное тождество очевиден, как и обратный.

Хотелось бы узнать насколько такое док-во правдоподобно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зеркальность “∪” и “∩”.
Сообщение30.10.2015, 18:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nou в сообщении #1068472 писал(а):
Докажите, что если в тождестве, использующем только знаки объединения и пересечения заменить все символы “∪” на “∩”, а “∩” на “∪”, то оно останется верным.

Примените два раза операцию "не".

А, да, ещё: там понадобится также то, что в отношении дистрибутивности что "и", что "или" -- равноправны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зеркальность “∪” и “∩”.
Сообщение31.10.2015, 16:13 


12/06/14
28
ewert, если $A\cap...\cap B\cap (C\cup D)\cup E\cup...\cup Z=A'\cap...\cap B'\cap (C'\cup D')\cup E'\cup...\cup Z'$ - верное тождество, то $\neg (A\cap...\cap B\cap (C\cup D)\cup E\cup...\cup Z)=\neg (A'\cap...\cap B'\cap (C'\cup D')\cup E'\cup...\cup Z')$ - тоже верное тождество. Пользуясь законом Де Моргана, получаем, что $$\neg A\cup...\neg B \cup (\neg C\cap \neg D)\cap \neg E\cap...\cap \neg Z=\neg A'\cup...\neg B' \cup (\neg C'\cap \neg D')\cap \neg E'\cap...\cap \neg Z'$$
Под $\neg A$ понимается дополнение $A$ до $M_0$, где $M_0$ - некоторый универсум. Пользуясь тем, что полученное выше равенство - тождество, в качестве мн-ва $A$ можно взять $\neg A$, так поступим с каждым мн-вом, входящем в полученное равенство. ($\neg(\neg A)=A$)
Тогда полученное равенство примет вид: $A\cup...B \cup (C\cap D)\cap E\cap...\cap Z=A'\cup...B' \cup (C'\cap D')\cap E'\cap...\cap Z'$. Ясно, что в обратную сторону всё аналогично. Таким образом мы показали, что если в тождестве, использующем только знаки объединения и пересечения заменить все символы “∪” на “∩”, а “∩” на “∪”, то оно останется верным.
Отметим также, что в решении используется равноправность пересечения и объединения в отношении дистрибутивности, то есть можно раскрывать скобки когда в них стоит “∪”, а вне их - “∩”, а можно и наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зеркальность “∪” и “∩”.
Сообщение31.10.2015, 17:38 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i 
nou в сообщении #1068698 писал(а):
“∩” на “∪”
nou, оформляйте все формулы и термы $\TeX$ом, иначе тема поедет в Карантин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зеркальность “∪” и “∩”.
Сообщение31.10.2015, 17:59 


12/06/14
28
Deggial, понял Вас.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зеркальность “∪” и “∩”.
Сообщение01.11.2015, 12:13 


12/06/14
28
Всё ли правильно в решении выше?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group