История развития пределов (В мат. анализе)

[мат-ламер]

Munin в сообщении #1068232 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1068178 писал(а):

У меня тут своё ИМХО. Важнейшая задача в вычислительной математике является выяснение вопроса о сходимости какого-то процесса (по сути вычисляем предел и доказываем его существование).

Вообще-то, по сути это разные вещи. Существование предела необходимо для сходимости процесса, но чаще всего совершенно недостаточно.

Вы не могли бы привести пример процесса у которого есть предел, но который не сходится?

[Anton_Peplov]

Поясните для рабочих и крестьян: что вообще такое "сходящийся процесс" и "предел процесса"?

Мне, с моей колокольни полнейшего дилетанта в прикладной математике, думается так: когда мы, например, вычисляем функцию как сумму ряда, нам мало знать, что ряд сходится. Надо еще знать, сколько членов ряда нужно взять, чтобы сумма отличалась от суммы всего ряда не более чем на $\varepsilon$. И за дело стоит браться только в случае, если достаточно какого-то разумного количества членов ряда. А то, знаете, от того, что ряд Тейлора функции $f(x) = e^{10x}$ в точке $2$ сходится, мало радости тому, кто попытается вычислить $f(100)$ суммированием этого ряда...

[derder]

Всем большое спасибо за ответы! Мне немножко стыдно признаваться, но я задаю этот вопрос не потому что мне очевидно то, что пытаются доказать, а совсем наоборот. Тяжело мне дается математика, но не о том разговор. Я надеялся, что люди которые в этом деле поднаторели смогли бы подсказать литературу или конкретные примеры, чтобы я все мог более менее разложить по полочкам. Может быть есть задачники по физике, где требуется провести анализ функции? Я прошу физику/механику, чтобы поближе к телу было, чтобы я мог представить и уяснить себе место пределов в жизни человека :)

Я приведу бытовой пример. Я не умею водить самолет, но я знаю за чем он. Не умею пользоваться огнетушителем(может это и просто, но я не умею), но знаю за чем он. Не умею одно, второе, третье, но понимаю за чем это нужно. А с пределами все совсем не так. Я могу найти какие то пределы, могу провести анализ какой то функции, но зачем? Какие задачи передо мной должна поставить жизнь,чтобы я достал это из памяти и сделал. И ведь что самое важное пропадает интерес изучать то, что непонятно за чем нужно. Я буду очень признателен, если вы приведете задачи на эту тему, или может быть уже кем-то написан такой задачник. Любая литература, которая бы могла помочь. За литературу я вдвойне буду признателен, потому что едва ли такой объем можно осветить на форуме.

Мне думается, что то, что Вам сейчас кажется элементарным для меня будет открытием, поэтому не стесняйтесь пишите :)

Всем огромное спасибо за ваши ответы!

[Brukvalub]

derder в сообщении #1068458 писал(а):

Я не умею водить самолет, но я знаю за чем он.

Ну, и за чем самолет? За углом?
А пределы нужны, чтобы посчитать производные, а производные нужны, чтобы составить дифференциальное уравнение, а это уравнение нужно составить и решить, чтобы точным языком описать подъемную силу крыла, а это нужно для того, чтобы, когда самолет выедет из-за угла, за чем он стоял, и начнет взлетать, он не шлепнулся бы на ВВП.
Вообще-то ТС полезно посмотреть старый мульт сестер Бромберг "В стране невыученных уроков".
В нем на простых и поучительных примерах наглядно объясняется "за чем самолет производная".

[Pphantom]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1068464 писал(а):

когда самолет выедет из-за угла, за чем он стоял, и начнет взлетать, он не шлепнулся бы на ВВП.

На ВПП. А то это уже какой-то экстремизм получается.

[Munin]

derder в сообщении #1068458 писал(а):

Я надеялся, что люди которые в этом деле поднаторели смогли бы подсказать литературу или конкретные примеры, чтобы я все мог более менее разложить по полочкам.

Если хотите, есть книги по истории математики
Кольман, Юшкевич. Математика до эпохи Возрождения. (История математики в древности. История математики в Средние века. (Вилейтнер) История математики от Декарта до середины XIX столетия.)
Юшкевич (ред.) История математики. С древнейших времён до начала XIX столетия. В 3 томах.
Колмогоров, Юшкевич (ред.) Математика XIX века. В 2 томах.

Но я предупредил: это не поможет с изучением современной математики, а само по себе непростое чтиво, для которого современную математику лучше всего уже знать.

derder в сообщении #1068458 писал(а):

Может быть есть задачники по физике, где требуется провести анализ функции? Я прошу физику/механику, чтобы поближе к телу было, чтобы я мог представить и уяснить себе место пределов в жизни человека :)

derder в сообщении #1068458 писал(а):

А с пределами все совсем не так. Я могу найти какие то пределы, могу провести анализ какой то функции, но зачем?

Ну, например, при помощи предела можно выяснить, какое стационарное положение займёт система, после того, как в ней закончатся все колебания и переходны́е процессы. Будет ли планета обращаться вокруг звезды, или улетит прочь, или упадёт внутрь? В каком месте остановится камень на рельефе? (Ответ: в нижней точке.) Какое распределение температуры установится после включения печки? Какие токи будут течь в электрической цепи? На эти все вопросы отвечает вычисление предела.

[мат-ламер]

Anton_Peplov в сообщении #1068457 писал(а):

Поясните для рабочих и крестьян: что вообще такое "сходящийся процесс" и "предел процесса"?

Вообще не могу, а в частности имеется в виду вычислительный процесс, который часто можно представить как последовательностью точек в некотором пространстве. Пространство может быть конечномерным линейным пространством, а может быть и пространством функций.

[Mikhail_K]

derder, вряд ли Вы найдёте задачник по теории пределов с "практическими" задачами.
Дело вот в чём. Неверно думать, что у теории пределов - одни приложения, у дифференциального исчисления - другие, у интегрального - третьи, у теории матриц - четвёртые, и т.д. Обычно для практических задач нужен целый пласт теории. Вам правильно сказали - сначала доучитесь до дифференциальных уравнений хотя бы, и там уже можно будет говорить о практических задачах; там их много и задачники тоже найдутся. Грубо говоря, всё, что до дифференциальных уравнений - нужно просто для целостности теории, чтобы в ней всё подходило одно к другому, как мозаика. Без пределов нельзя понять, что такое производные и интегралы, без них - что такое дифференциальное уравнение.

Большинство задач из мат.анализа, на нахождение пределов, производных, интегралов - практической ценности не имеют. У них другая цель - чтобы вы свыклись с этими понятиями, чтобы они стали для вас как родные, потому что только в этом случае вы поймёте более сложный материал.

Что касается теорем вроде "предел суммы равен сумме пределов" - по-моему, должно быть какое-то математическое любопытство. Ну неужели не интересно, чему равен предел суммы - даже если это не пригодится? Я соглашусь, что существенная проблема во многих курсах математики - в том, что для излагаемых там теорем сразу не ясно, почему они интересны. Нужно вырабатывать в себе определённую культуру, чтобы это видеть и понимать. Например, видите вы теорему, про которую совсем неясно, зачем она нужна. Заметьте её про себя, а потом поглядите, где эта теорема будет использоваться в дальнейшей теории. Может быть, что-то и прояснится.

Вместо книг по истории математики, рекомендованных Munin'ом, очень рекомендую следующую книгу:
Хайрер, Ваннер. Математический анализ в свете его истории
Мне кажется, она будет Вам интереснее и многое прояснит, в плане того, как развивалась теория пределов и другие теории из мат.анализа. В частности, Вы увидите, насколько извилист был путь к современной теории.

Порекомендую ещё две книги. Чтобы их изучить, придётся основательно повозиться, и быть может, это получится у Вас не сразу. Может быть, придётся подождать, когда Вы изучите больше материала из мат.анализа и других разделов математики. Но Вы увидите, насколько многообразны приложения математики.
Гордин. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики
Фролов, Багаутдинова. Высшая математика. Этюды по теории и её приложениям

[мат-ламер]

Anton_Peplov в сообщении #1068457 писал(а):

Мне, с моей колокольни полнейшего дилетанта в прикладной математике, думается так: когда мы, например, вычисляем функцию как сумму ряда, нам мало знать, что ряд сходится. Надо еще знать, сколько членов ряда нужно взять, чтобы сумма отличалась от суммы всего ряда не более чем на $\varepsilon$. И за дело стоит браться только в случае, если достаточно какого-то разумного количества членов ряда. А то, знаете, от того, что ряд Тейлора функции $f(x) = e^{10x}$ в точке $2$ сходится, мало радости тому, кто попытается вычислить $f(100)$ суммированием этого ряда...

Безусловно вы правы. После того, как выяснили, что последовательность сходится, возникает вопрос о скорости сходимости этой последовательности. Но все задачи вычислительной математики я не берусь осветить в одном абзаце.

[derder]

Аааа огромное спасибо!
Mikhail_K, не знаю как, но Вы зажгли во мне желание учиться дальше с новой силой :)

мат-ламер, Mikhail_K, Munin Вам огромное спасибо за рекомендованную литературу!

Приятно осознавать, что в мире есть люди, которые всегда помогут, а не будут подкалывать, как некоторые :)
Тема меня полностью удовлетворила, планы на будущее намечены. Буду бороться дальше! Еще раз спасибо :)

[dsge]

Anton_Peplov в сообщении #1068457 писал(а):

думается так: когда мы, например, вычисляем функцию как сумму ряда, нам мало знать, что ряд сходится.

Ряд вообще расходиться может и тем не менее:

Anton_Peplov в сообщении #1068457 писал(а):

Надо еще знать, сколько членов ряда нужно взять, чтобы сумма отличалась от суммы всего ряда не более чем на $\varepsilon$.

[VAL]

Если уж обсуждать историю развития понятий "предел" и "предельный переход" я бы начал с Архимеда, а то и с Евдокса.

[мат-ламер]

VAL в сообщении #1068656 писал(а):

я бы начал с Архимеда, а то и с Евдокса.

Не знаю, правда или нет, но вроде В.И.Арнольд где-то рассказывал, что почти вся греческая математика была уже у египтян. Но у них не было книг по математике. Вся информация передавалась устно между жрецами. И стогость геометрических доказательств конечно уступала Евклиду. Но они знали, что сторона квадрата несоизмерима его диагонали. И они знали, как получить длину диагонали квадрата в рациональных числах последовательными приближениями, исходя из рекуррентной последовательности $x^{n+1}=(x^n+2/x^n)/2$ , $x_0=1$ . Эта тема имеет практическое приложение (топикстартер справшивал про это). Вот задача топикстартеру. 1) Вычислить несколько членов этой последовательности. 2) Доказать, что предел этой последовательности равен $\sqrt 2$. 3) Исследовать вопрос, как быстро эта последовательность сходится. 4) Построить подобную последовательность для вычисления $\sqrt n$ .

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1068813 писал(а):

Не знаю, правда или нет, но вроде В.И.Арнольд где-то рассказывал, что почти вся греческая математика была уже у египтян.

Если Арнольд что-то рассказывает про историю - то практически всегда это неправда. Хотя может быть отголоском правды. Увы, у Арнольда было такое свойство.

Насчёт греческой математики и египтян - почитайте замечательную книгу
Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука.
Там четыреста страниц, и всё - именно про это. Потрясающе интересно.

[Brukvalub]

мат-ламер в сообщении #1068813 писал(а):

В.И.Арнольд где-то рассказывал, что почти вся греческая математика была уже у египтян. Но у них не было книг по математике. Вся информация передавалась устно между жрецами. И строгость геометрических доказательств конечно уступала Евклиду.

Интересно, как Арнольд и другие современные историки математики узнали этот факт? Им египетские жрецы рассказали? Ведь это было давно, и письменных источников происходившего не могло остаться в принципе, раз уж вся математика тогда была только "устной"