Расчет длины дуги.

[ViolentMonkey]

Доброго времени суток!
Читая Зельдовича застопорился на следующем упражнении: "Запишите в виде интеграла длину дуги экспоненциальной кривой $y=e^x$ от точки (0,0) до (1,1) и сделав замену в интеграле переменной $1+e^{2x}=z^2$ найдите длину дуги"
Решение: Длина дуги ищется по следующей формуле $s(a,b) = \int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$
отсюда по аналогии $s(0,1) = \int\limits_{0}^{1}\sqrt{1+e^{2x}}dx$
в ответах в конце книги приведено решение упражнения, но единственное, что смущает - переход вышеупомянутого интеграла через замену в
$s(\sqrt{2},\sqrt{1+e^{2}}) = \int\limits_{\sqrt{2}}^{\sqrt{1+e^{2}}}\frac{z^{2}dz}{z^{2}-1}}$
Как можно получить такое выражение?

[Ms-dos4]

ViolentMonkey
Ну как, $\[\int\limits_0^1 {\sqrt {1 + {e^{2x}}} dx} \]$
Делаем замену $\[{z^2} = 1 + {e^{2x}}\]$. Тогда $\[2zdz = 2{e^{2x}}dx \Rightarrow dx = \frac{{zdz}}{{{z^2} - 1}}\]$
Согласно замене нижний предел $\[\sqrt {1 + {e^{2 \cdot 0}}} = \sqrt 2 \]$, верхний $\[\sqrt {1 + {e^{2 \cdot 1}}} = \sqrt {1 + {e^2}} \]$
Вот и получаем $\[\int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt {1 + {e^2}} } {\frac{{{z^2}dz}}{{{z^2} - 1}}} \]$

[ViolentMonkey]

Ms-dos4
большое спасибо, очень помогли

[ewert]

Первое, что обязано приходить в голову в подобных случаях (это если не знать вообще никакой теории, а много знать вообще вредно) -- так это замена $e^{2x}=t,\ 2e^{2x}dx=dt,\ dx=\frac{dt}{2t}$, откуда сразу выскакивает $\frac{\sqrt{1+t}}t\,dt$, ну а дальше уж очевидно.

[ViolentMonkey]

ewert
познавательно, мотаем на ус, спасибо

[Алексей К.]

Помогите и мне разобраться в этой задачке, плиииз.

ViolentMonkey в сообщении #1068468 писал(а):

"Запишите в виде интеграла длину дуги экспоненциальной кривой $y=e^x$ от точки (0,0) до (1,1)

Сначала я предположил, что (0,0) следует понимать как $(x_0,y_0)=(0,0)$, и аналогично понимать (1,1). Но мне пока не удалось провести экспоненциальную кривую через эти точки.
Я, конечно, сейчас же повторю забытый материал про экспоненты по учебникам.

Но у меня все вопросы отпадут, если мне скажут, что это была десятичная запятая, и типа речь идёт об "от $x_0=0.0$ до $x_1=1.1$". Тогда останется только подправить пределы интегрирования в

Цитата:

$s(0,1) = \int\limits_{0}^{1}\ldots$

Спасибо.

[Ms-dos4]

Алексей К.
На самом деле это ТС переврал постановку. В оригинале конечно было сказано найти длину дуги экспоненциальной кривой между точками с абсциссами $\[x = 0\]$ и $\[x = 1\]$ (а $\[(0,0)\]$ и $\[(1,1)\]$ фигурировало в задании с параболой)

[Алексей К.]

Спасибо. Учебники укладываю взад на пыльную полку.