Угол отклонения стержня

[ASCCCIII]

Подскажите, пожалуйста, правильное ли начало решения, если да, то чем руководствоваться дальше.

Условие: в нижний конец вертикально висящего стержня, закрепленного на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец, попадает шар массой 100 г и упргуго отскакивает от него. На какой угол отклонится стержень, если масса стержня 1 кг, а длина 1 м.

Решение:

Согласно закону сохранения импульса $m_1v = m_1u + \frac{Jw}{R}$, где $J$ - момент инерции, а $w$ - угловая скорость.

Для стержня $J = \frac {m_2R^2}{3} = \frac {1 \cdot 1}{3} = \frac{1}{3}$

Нашел формулу, что $\frac {Jw^2}{2} = M\varphi$

Пытался выразить $w$ через $\frac {m_1v^2}{2} = \frac {m_1u^2}{2} + \frac {Jw^2}{R}$ но у меня получаются одинаковые равенства, вида $a=a$, и момент силы тяжести тоже неизвестен, чтобы угол найти из найденной формулы.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- наберите правильно в т.ч. и отдельные обозначения (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Slav-27]

Вы в условие ничего не забыли написать?

[мат-ламер]

ASCCCIII
Вы же видите, что движение стержня вращательное. Значит закон сохранения момента импульса рулит.

[Munin]

Всё-таки, в условиях важного слова не хватает.

[ASCCCIII]

Slav-27 в сообщении #1068463 писал(а):

Вы в условие ничего не забыли написать?

Munin в сообщении #1068525 писал(а):

Всё-таки, в условиях важного слова не хватает.

мат-ламер в сообщении #1068515 писал(а):

Вы же видите, что движение стержня вращательное. Значит закон сохранения момента импульса рулит.

Так я же его написал (если конечно правильно написал). Но, как дальше получить угол не знаю.

[Munin]

ASCCCIII
Значитца, так. Составители задачи лопухнулись, но это не повод выключать думалку самому. Необходимое условие - это указание на то, что шар движется горизонтально, поперёк оси, и отскакивает назад. При других направлениях движения и отскока шара, ответы можно получить любые в диапазоне $[0,(\textit{подразумевавшийся ответ})].$

-- 30.10.2015 23:57:33 --

Момент силы тяжести не нужен, высоту поднятия стержня находите из закона сохранения энергии.

[ASCCCIII]

Munin в сообщении #1068572 писал(а):

Составители задачи лопухнулись, но это не повод выключать думалку самому

Согласен, но, к сожалению, моя думалка в области физики стремится к нулю.

Munin в сообщении #1068572 писал(а):

Необходимое условие - это указание на то, что шар движется горизонтально, поперёк оси, и отскакивает назад.

При решении я исходил из этого условия, но оно, действительно, не указано.

Munin в сообщении #1068572 писал(а):

Момент силы тяжести не нужен, высоту поднятия стержня находите из закона сохранения энергии.

Вначале я так и пытался решить через $\cos\alpha = \frac{l - h}{l}$.

Но я не знаю как вывести высоту.
У меня был такой ход решения:

$m_1v_1 = m_1u_1 + m_2u_2$

$h = u_2/g$ - вот это не знаю верно или нет, но даже если верно, не одна скорость же не задана в условии?

[Munin]

ASCCCIII в сообщении #1068579 писал(а):

Вначале я так и пытался решить через $\cos\alpha = \frac{l - h}{l}$.

Ну и правильно.

ASCCCIII в сообщении #1068579 писал(а):

Но я не знаю как вывести высоту.

Что вот в этом уравнении известно, что неизвестно, но можно вывести из других уравнений, а что - надо вывести из этого уравнения?

ASCCCIII в сообщении #1068579 писал(а):

не одна скорость же не задана в условии?

Точно. Ну, можно скорость считать параметром, и написать ответ в виде формулы, зависящей от параметра.

[ASCCCIII]

Munin в сообщении #1068589 писал(а):

Что вот в этом уравнении известно, что неизвестно, но можно вывести из других уравнений, а что - надо вывести из этого уравнения?

Получилось так:
$m_1$ - масса шара, $m_2$ - масса стержня, $v_1, v_2$ - скорости шара и стержня, до удара, $u_1, u_2$ - скорости шара и стержня после удара.

$m_2gh = \frac {m_2u_2^2}{2}$

$h = \frac {u_2^2}{2g}$

$\cos \alpha = \frac {l - h}{l} = \frac {l - (\frac {u_2^2}{2g})}{l}$

$m_1v_1 = m_1u_1 + m_2u_2$

$u_2 = m_1v_1 - m_1u_1 = 0,1 (v_1 - u_1)$

$\cos \alpha = \frac {l - (\frac {0,01(v_1 - u_1)^2}{2g})}{l}$

Больше всего сомневаюсь в первой формуле, правильно ли то, что приравнял потенциальную энергию стержня к кинетической энергии после удара (но если брать до удара, то высота получится равной нулю).

Munin в сообщении #1068589 писал(а):

Ну, можно скорость считать параметром, и написать ответ в виде формулы, зависящей от параметра.

Но скорость все-таки вычисляется и мне не хватает думалки понять как или ее, действительно, не найти?

[мат-ламер]

ASCCCIII в сообщении #1068670 писал(а):

Munin в сообщении #1068589 писал(а):

Ну, можно скорость считать параметром, и написать ответ в виде формулы, зависящей от параметра.

Но скорость все-таки вычисляется и мне не хватает думалки понять как или ее, действительно, не найти?

Я тоже думаю, что скорость всё-таки вычисляется. На три параметра три закона. Не тривиально, что и закон сохранения импульса также выполняется при упругом ударе. Допустим, стержень висит в тележке. Интуитивно кажется, что после удара шара тележка со стержнем поедет вперёд не рывком, а плавно. Имейте в виду, что точки стержня начинают двигаться с разной скоростью. Закон сохранения момента импульса вы вообще не написали.

[Slav-27]

ASCCCIII в сообщении #1068579 писал(а):

не одна скорость же не задана в условии

ASCCCIII в сообщении #1068670 писал(а):

Но скорость все-таки вычисляется и мне не хватает думалки понять как или ее, действительно, не найти?

Вот представьте себе, что шарик, который ударяется о стержень, летел до удара медленно-медленно, и вообразите, какой будет максимальный угол отклонения. Теперь представьте, что он летел быстро-быстро, и прикиньте, будет ли максимальный угол отклонения такой же или какой-то другой. Можно даже представить себе сначала не шар и висящий стержень, а просто два шара, летящий и неподвижный.

Начальное состояние всей этой системы вашим условием не задаётся однозначно, потому что не указана скорость шара. Порой бывает и так, что ответ не зависит от такого параметра, поэтому его задание необязательно. Однако в этой задаче такой случай не кажется вероятным, поэтому следует задаться начальной скоростью шара. Если вдруг ответ от неё всё-таки не зависит, то она просто везде сократится в выкладках при выписывании ответа.

Итак, в условие стоит добавить фразу: шар врезается в стержень перпендикулярно стержню, и его скорость перед ударом имеет известную величину $v_1$.

ASCCCIII в сообщении #1068670 писал(а):

$v_1, v_2$ - скорости шара и стержня, до удара, $u_1, u_2$ - скорости шара и стержня после удара.

Во-первых, разве скорость стержня до удара не 0? Во-вторых, что такое "скорость стержня после удара"? Он же после удара вертится, его верхний конец вообще на месте, а скорости остальных его точек разные.

Далее вы пишете какие-то формулы, не понимая их смысла. Не надо переписывать кучу формул. Надо писать, что какой буквой означено и откуда берётся каждое из уравнений: какие законы вы применяете и почему вы вправе их применить.

[Munin]

ASCCCIII в сообщении #1068670 писал(а):

Больше всего сомневаюсь в первой формуле, правильно ли то, что приравнял потенциальную энергию стержня к кинетической энергии после удара (но если брать до удара, то высота получится равной нулю).

Приравнивать эти энергии - правильно. А вот приравняли вы неправильно. Надо записать кинетическую энергию вращательного движения.

ASCCCIII в сообщении #1068670 писал(а):

Но скорость все-таки вычисляется и мне не хватает думалки :-) понять как или ее, действительно, не найти?

Подумайте вот о чём: если скорость одна, и если скорость другая - ответы на задачу будут разные? Или одинаковые?

[ASCCCIII]

Slav-27 в сообщении #1068706 писал(а):

Можно даже представить себе сначала не шар и висящий стержень, а просто два шара, летящий и неподвижный.

Да, я именно по такой подобной задаче из Трофимовой Т.И. и пытаюсь решить эту, но там на одну известную больше (+ еще дан угол, а найти скорость).

Slav-27 в сообщении #1068706 писал(а):

Во-первых, разве скорость стержня до удара не 0?

Ноль, это просто для полноты обозначений, хоть дальше обозначение и не применяется. Не логично, согласен.

Slav-27 в сообщении #1068706 писал(а):

и почему вы вправе их применить.

Вот это, к сожалению, для меня самое трудное Именно поэтому большую часть задач приходится решать методом проб и ошибок на основе подобных задач. Через них зачастую и становится понятной суть задачи.

Munin в сообщении #1068709 писал(а):

Подумайте вот о чём: если скорость одна, и если скорость другая - ответы на задачу будут разные? Или одинаковые?

Разные, угол больше будет, если скорость шара больше.

Munin в сообщении #1068709 писал(а):

Приравнивать эти энергии - правильно. А вот приравняли вы неправильно. Надо записать кинетическую энергию вращательного движения.

В итоге ушел от еще одной неизвестной, но осталась еще одна.

Через закон сохранения импульса $m_1v_1 = m_1u_1 + m_2u_2$ и закон сохранения энергии $\frac {m_1v_1^2}{2} = \frac {m_1u_1^2}{2} + \frac {m_2u_2^2}{2}$ выразил $u_2 = \frac {2m_1v_1}{m_1 + m_2}$

Потом исправил кинетическую энергию поступательного движения, на вращательную:
$m_2gh = \frac {Jw^2}{2} = \frac {u_2^2}{6R^2}$

Но все-равно если подставлять полученный выражения, то в итоге останется неизвестной $v_1$ или именно в этом суть добавочного предложения

Slav-27 в сообщении #1068706 писал(а):

и его скорость перед ударом имеет известную величину $v_1$