Оценить функциональный ряд.

[ewert]

kvendingoldo в сообщении #1064759 писал(а):

Знание того, что сумма известна - запретили использовать.

И абсолютно правильно запретили: на всякий чих не наздравствуешься.

kvendingoldo в сообщении #1064759 писал(а):

Увы, препод требует два варианта - второй это именно найти универсальный $ N(\varepsilon,x)$

Так я ж ровно его и предлагал. Это для каждого икса -- наибольшее из двух чисел: номера, с которого возрастание сменяется убыванием (он считается вполне явно) и номера, для которого член ряда равен допустимой погрешности. Последнее точно выразить через иксы и эпсилоны, естественно, невозможно. Можно, конечно, придумать более-менее разумную оценку снизу через стирлингов и прочие танцы с бубнами; но если препод настаивает именно на этом -- то он явно забыл, что он по замыслу всё-таки программист.

Во всяком случае, предложить что-то существенно лучшее нельзя практически наверняка.

-- Вт окт 20, 2015 20:48:06 --

Нет, я немножко передумал. Найдём сперва первое число (границу возрастания/убывания). Завысим его в пару раз и грубо оценим потом остаток, подпирая факториал снизу просто геометрической прогрессией. Это получится уже вполне явно. И не так уж и грубо выйдет: необходимое к-во слагаемых вот как раз не более чем в пару раз и завысится.(Там есть нюанс, но с ним нетрудно справиться.)

Но всё равно это выглядит как некоторое извращение.

[kvendingoldo]

ewert в сообщении #1064778 писал(а):

kvendingoldo в сообщении #1064759 писал(а):

Знание того, что сумма известна - запретили использовать.

И абсолютно правильно запретили: на всякий чих не наздравствуешься.

kvendingoldo в сообщении #1064759 писал(а):

Увы, препод требует два варианта - второй это именно найти универсальный $ N(\varepsilon,x)$

Так я ж ровно его и предлагал. Это для каждого икса -- наибольшее из двух чисел: номера, с которого возрастание сменяется убыванием (он считается вполне явно) и номера, для которого член ряда равен допустимой погрешности. Последнее точно выразить через иксы и эпсилоны, естественно, невозможно. Можно, конечно, придумать более-менее разумную оценку снизу через стирлингов и прочие танцы с бубнами; но если препод настаивает именно на этом -- то он явно забыл, что он по замыслу всё-таки программист.

Во всяком случае, предложить что-то существенно лучшее нельзя практически наверняка.

-- Вт окт 20, 2015 20:48:06 --

Нет, я немножко передумал. Найдём сперва первое число (границу возрастания/убывания). Завысим его в пару раз и грубо оценим потом остаток, подпирая факториал снизу просто геометрической прогрессией. Это получится уже вполне явно. И не так уж и грубо выйдет: необходимое к-во слагаемых вот как раз не более чем в пару раз и завысится.(Там есть нюанс, но с ним нетрудно справиться.)

Но всё равно это выглядит как некоторое извращение.

Спасибо большое! Есть не получится - отпишусь.
И да, по замыслу мы делаем задачу не на технику программирования, как он говорил, а на мат.анализ. Это было единсвенное его напуствие :)

[Deggial]

kvendingoldo, замечание за избыточное цитирование. Освойте кнопку , а также кнопки BackSpace и Del для редактирования текста цитаты.

[kvendingoldo]

ewert в сообщении #1064778 писал(а):

Нет, я немножко передумал. Найдём сперва первое число (границу возрастания/убывания). Завысим его в пару раз и грубо оценим потом остаток, подпирая факториал снизу просто геометрической прогрессией. Это получится уже вполне явно. И не так уж и грубо выйдет: необходимое к-во слагаемых вот как раз не более чем в пару раз и завысится.(Там есть нюанс, но с ним нетрудно справиться.)

Не совсем понял, как искать первое число.

Вообще, сделал так:
$ \varepsilon_N(x) = \sum\limits_{n=N+1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \leq \sum\limits_{n=N+1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} =\frac{x^{N}}{N!}(1+\frac{x^2}{(N+2)} + \frac{x^4}{(N+2)(N+4)}+\ldots) = \frac{x^{N}}{N!}(1 +\xi+\xi^2+\xi^3+\ldots) $

где $ \xi = \frac{x}{N+2} \leq \frac{x}{2}$ и так далее.

А как дальше? Не пойму как собрать то, что в скобках в прогрессию? (ведь мы не знаем какая она будет, так как в ней есть иксы).


Почему так? Хочу организовать вычисления по схеме:
(Именно для этого последовательность кси я хочу свернуть в Q)

1. k=1; y := 1; A := x;
2. if Q*A < epsilon_N(x) then goto 4 else goto 3
3. y := y+A; k++; A := (  A*x ) / k, goto 2
4. out(y);

[Brukvalub]

kvendingoldo в сообщении #1066532 писал(а):

А как дальше? Не пойму как собрать то, что в скобках в прогрессию? (ведь мы не знаем какая она будет, так как в ней есть иксы).

Так нужна априорная оценка на $x$, иначе ничего не выйдет. Ведь этот ряд не сходится равномерно на всей числовой оси! Например, можно ограничиться отрезком, на котором только и происходит вычисление.

[kvendingoldo]

Brukvalub в сообщении #1066548 писал(а):

kvendingoldo в сообщении #1066532 писал(а):

А как дальше? Не пойму как собрать то, что в скобках в прогрессию? (ведь мы не знаем какая она будет, так как в ней есть иксы).

Так нужна априорная оценка на $x$, иначе ничего не выйдет. Ведь этот ряд не сходится равномерно на всей числовой оси! Например, можно ограничиться отрезком, на котором только и происходит вычисление.

Ну, отрезка для вычисления у меня два - $[-1,1], [-10,10]$. Ряд (вроде бы) на них сходится, значит последовательность кси будет убывающей?

[Brukvalub]

Тогда заменяйте в вашей оценке остатка ряда переменную $x$ на максимально возможное на отрезке значение ее модуля.

[kvendingoldo]

В общем уже близкое к итоговому решение :
$ \varepsilon_N(x) = \sum\limits_{n=N+1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \leq \sum\limits_{n=N+1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} =\frac{x^{N}}{N!}(1+\frac{x^2}{(N+2)} + \frac{x^4}{(N+2)(N+4)}+\ldots) = \frac{x^{N}}{N!}(1 +\xi+\xi^2+\xi^3+\ldots) $

Делать грубую оценку $ \xi = \frac{x}{N+2} \leq \frac{x}{2}$ препод запретил, поэтому я сделал так:

Пусть у нас промежуток вычислений - [-10,10], тогда введём $ x_{\max} = \max(x_i) = 10. $

Преобразуем выражение в скобках $1+\frac{x_{\max}^2}{(N+2)} + \frac{x_{\max}^4}{(N+2)(N+4)}+\ldots$ с помощью геометрической прогрессии в $ \frac{1}{1-\frac{x_{\max}^2}{(N+\operatorname{const})}}$
Тогда : $\varepsilon_N(x) \leq \frac{1}{1-\frac{x_{\max}^2}{(N+\operatorname{const})}} \cdot \frac{x^{N}}{N!}$

Тогда вычисления будем проводить по предыдущей схеме :

1. k=1; y := 1; A := x;
2. if Q*A < epsilon_N(x) then goto 4 else goto 3
3. y := y+A; k++; A := (  A*x ) / k, goto 2
4. out(y);

где $Q= \frac{1}{1-\frac{x_{\max}^2}{(N+\operatorname{const})}}$

Будет ли моя схема верной? И как бы так подобрать $\operatorname{const} $?

[Brukvalub]

kvendingoldo в сообщении #1067288 писал(а):

В общем уже близкое к итоговому решение :
$
\varepsilon_N(x) = \sum\limits_{n=N+1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \leq \sum\limits_{n=N+1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} =\frac{x^{N}}{N!}(1+\frac{x^2}{(N+2)} + \frac{x^4}{(N+2)(N+4)}+\ldots) = \frac{x^{N}}{N!}(1 +\xi+\xi^2+\xi^3+\ldots)
$

Многое неудачно. 1. Нужно оценивать сверху не само выражение величины ошибки вычисления, а его модуль.
2. Степень множителя, который вынесен за скобки, определена с шибкой.
Дальше не смотрел.

[kvendingoldo]

Brukvalub в сообщении #1067344 писал(а):

Многое неудачно. 1. Нужно оценивать сверху не само выражение величины ошибки вычисления, а его модуль.
2. Степень множителя, который вынесен за скобки, определена с шибкой.
Дальше не смотрел.

Реально налажал:

$|\varepsilon_N(x)| = |\sum\limits_{n=N+1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}|=|\sum\limits_{n=N+1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}| = |\frac{x^{2N+2}}{(2N+2)!}(1+\frac{x^2}{(2N+3)(2N+4)} + \frac{x^4}{(2N+3)(2N+4)(2N+5)}+\ldots)| = |\frac{x^{2N+2}}{(2N+2)!}(1 +\xi^2+\xi^4+\xi^6+\ldots)| = |\frac{x^{2N+2}}{(2N+2)!} \cdot Q | $

где $Q= \frac{1}{1-\frac{x_{\max}^2}{2N+C}}$
Или опять не так?

[Brukvalub]

Второй знак равенства нужно заменить неравенством, после неравенства модули не нужны, в конце неверно подсчитана сумма прогрессии.

[kvendingoldo]

Brukvalub в сообщении #1067681 писал(а):

Второй знак равенства нужно заменить неравенством, после неравенства модули не нужны, в конце неверно подсчитана сумма прогрессии.

Считал сумму так(хотя сам чувствую, что это не правильно) :
У нас же убывающая геометрическая прогрессия, тогда её сумма будет:$ S = \frac{b_1}{1-q}.$
А вот тут вот непонятные вещи происходят : если делить$ \frac{b_{n+1}}{b_n}$, то получаем : $q = \frac{x^2}{2N+c}$
А вот это самое что-то, что я обозначил через c - это же не очень известная штука. Или я принципиально не так считаю?

[Brukvalub]

В знаменателе каждой следующей дроби появляются ДВА новых множителя. При оценивании все эти множители заменяют наименьшим возможным.

[kvendingoldo]

Brukvalub в сообщении #1067844 писал(а):

В знаменателе каждой следующей дроби появляются ДВА новых множителя. При оценивании все эти множители заменяют наименьшим возможным.

Т.е меняем на $(2N+3)(2N+4)$ и получаем
$q = \frac{x^2}{(2N+3)(2N+4)} \Rightarrow Q= \frac{1}{1-\frac{x^2}{(2N+3)(2N+4)}} $ ?

[Brukvalub]

Да.