Глупый вопрос про синус

[sergei1961]

Чему равно выражение $\sin x^2$ и почему? Равны ли это выражение и $\sin x\cdot x$?

[provincialka]

Нет, не равно. По соглашению имеем:
$\sin^2 x= (\sin x)^2$
$\sin x^2 = \sin (x^2)$

Писать $\sin x\cdot x$ вообще нежелательно. Что имеется в виду? $(\sin x)\cdot x$? Если вы имеете в виду $\sin (x\cdot x)$, то не пропускайте скобки.

[sergei1961]

Да я всё это знаю. Чего не знаю-как строго и точно формулируется правило, по которому Вы сначала считаете квадрат, а потом синус? Формально-это две равноправные функции. Про соглашение я ничего не знаю-тут должно быть правило про приоритеты вычисления функций. Второе равенство-пример парадокса обозначений, что не всегда $x^2=x\cdot x$.

[ИСН]

Правило формулируется так: "Квадрат синуса принято писать как $\sin^2x$". Раз так, значит, $\sin x^2$ - это не он. А что это тогда, какие варианты остались? Синус квадрата.

Приоритеты же в этой области несколько мутны; именно поэтому $\sin x\cdot x$ лучше не писать никогда, что бы ни имелось в виду.

[provincialka]

По идее неплохо было бы везде скобки использовать, потому что получаются не системные обозначения. Например, $f^2(x)$ в некоторых странах воспринимают как $f(f(x))$, и это логично.

sergei1961 в сообщении #1067816 писал(а):

пример парадокса обозначений, что не всегда $x^2=x\cdot x$.

Ну уж и парадокс! В выражении $\sin x$ синус от икса отрывать нельзя. Вообще не принято писать $\sin x\cdot x$, именно из-за возможной путаницы. Применение синуса (и других именованных функций) допустимо только к выражению без арифметических действий (или в скобках).

[sergei1961]

Мне кажется, что должно быть известное чёткое однозначное правило в терминах приоритетов выполнения операций. Ищу ссылку.

-- 28.10.2015, 22:06 --

Ну не надо, как будто $\sin 2x$ не пишут...

-- 28.10.2015, 22:08 --

Мне кажется, что есть определённый парадокс. Вопрос: если в тексте формулы все вхождения выражения $x^2$ заменить на $x\cdot x$, то формула не изменится? Сразу хочется сказать: да. Получается ответ: нет.

[provincialka]

Кстати, соглашения, применимые к функциям не срабатывают для дифференциалов.
$\sin^2x=(\sin x)^2 \ne \sin\sin x$, но $d^2y = d(dy)$
$\sin x^2 =\sin(x^2)\ne (\sin x)^2$ но $dx^2=(dx)^2\ne d(x^2)$

-- 28.10.2015, 21:11 --

sergei1961 в сообщении #1067821 писал(а):

Ну не надо, как будто $\sin 2x$ не пишут..

А, кстати, да! Тут почему-то никто не читает как $x\sin 2$. Наверное потому же, почему можно писать $2x$, но нельзя $xx$. Я что-то такого не видела ((

-- 28.10.2015, 21:15 --

sergei1961 в сообщении #1067821 писал(а):

если в тексте формулы все вхождения выражения [...] заменить на

Так это не только в вашем примере... Скажем, при $x=t\cdot t $ имеем $x^3\ne t\cdot t^3$. Или, скажем, при $y=a+b$ неверно, что $y^2 =a+b^2$.
Скобки надо использовать.

-- 28.10.2015, 21:21 --

Вообще так сложилось исторически. Хотя и не всегда разумно. Лично я бы предпочла писать $(\sin x)^2, \sin(x^2)$, а запись $\sin^2x$ читать как $\sin \sin x$.

(Оффтоп)

Ко мне как раз сейчас ходит ученик, который этой разницы не понимает... Что сначала -- синус или квадрат, и как понимать основное триг. тождество... Первый раз такого вижу!

[sergei1961]

Хорошо что квадрат не рисует, а в нём синус. А вообще это сегодня у меня курсантка написала на доске. Я механически ляпнул, что это неправильно, а потом задумался, почему?

[ewert]

$\sin xy$ писать запросто можно. И даже более того -- даже и $\sin xy^2$, и даже $\sin x^2y$! А что хуже того -- все ровно так и пишут, и практически ровно все никаких скобок и не ставят.

Правило тут очень простое: синус действует на всё последующее до первой операции низшего приоритета на низшем уровне вложенности.

Точечка же отбивает это правило (она и вообще именно для этого и предназначена). Так что запись $\sin x\cdot x$ -- вполне недвусмысленна. Хотя и не вполне желательна; но иногда без неё плохо -- неудобно бывает одновременно и преобразования делать, и сомножители переставлять. Логика немножко туманится.

[sergei1961]

ewert - спасибо. Фраза "синус действует на всё последующее до первой операции низшего приоритета на низшем уровне вложенности." Можно прояснить на данном примере $\sin x^2$ - вроде тут обе функции одного приоритета и одного уровня вложенности, я не до конца это понимаю. Или ещё проще-где про это правило в уважаемых книгах чётко написано без зауми?

[provincialka]

Тут еще трудность в том, что функция "возведение в квадрат" не имеет своего имени и записывается формулой. То есть воспринимается скорее как результат арифметической операции. Если считать по определению, что $sqr(x)=x^2$, то в записи $\sin sqr x$ никаких разночтений не будет.

sergei1961 в сообщении #1067854 писал(а):

где про это правило в уважаемых книгах чётко написано без зауми?

Я, например, сильно сомневаюсь... Это скорее негласные соглашения. И лучше, где это не слишком громоздко, все-таки писать скобки (IMHO).

[Aritaborian]

provincialka в сообщении #1067860 писал(а):

Это скорее негласные соглашения.

Парсер математической нотации, встраиваемый нам в голову со школы, увы, нестрог, равно как и не до конца строга традиционная (некомпьютерная) математическая нотация. То ли дело нотация компьютерная.
Что же касается выражения $\sin x^2$, я зайду с обратной стороны: оператор возведения в степень — верхний индекс — действует на скобки, написанные слева от него. Если скобок слева нет — на единственный написанный слева символ.

[ewert]

sergei1961 в сообщении #1067854 писал(а):

$\sin x^2$ - вроде тут обе функции одного приоритета и одного уровня вложенности,

Тут только одна функция. Вторая же -- не функция, а бинарная операция.

Под "низшим" приоритетом подразумевался, естественно, наинизший, т.е. просто сложения и вычитания. И правило это прекрасно работает. Во всяком случае, затрудняет парсинг гораздо меньше, чем пресловутые степени над собственно синусом. Т.е. степени, конечно, тоже не смертельны; но геморроя от них больше.

-- Чт окт 29, 2015 00:59:51 --

Aritaborian в сообщении #1067870 писал(а):

Если скобок слева нет — на единственный написанный слева символ.

Это, в переводе на русский, означает всего-навсего, что операция возведения в степень имеет наивысший приоритет. Но это и банальность.

(кстати, вокруг синуса скобочек не бывает; но даже если счесть синус за составной символ -- сам по себе он решительно никогда в квадрат не возводится, просто не умеет)

[Aritaborian]

ewert в сообщении #1067872 писал(а):

Но это и банальность.

Как мы видим, и такие банальности нужно порой разжёвывать.

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1067822 писал(а):

Лично я бы предпочла писать $(\sin x)^2, \sin(x^2)$, а запись $\sin^2x$ читать как $\sin \sin x$.

А вот это уже -- тлетворное влияние запада. Они там с какого-то бодуна решили применять значок "^{-1}" не только к абстрактным функциям, но и к конкретным, не удосужившись заметить, что для последних он уже занят.