Найти все простые, удовлетворяющие соотношению

[rightways]

Найдите все простые числа $p$ для которых

$$p^p-(p-1)^{p-1}$$

- точный квадрат.

Deggial: название темы дополнено.

[rightways]

Бонус:

Найдите все целые решения уравнения

$$2n^n+(n-1)^n=m^2$$

[rightways]

Пусть $p$ простое. Докажите, что

$$p^p-(p-1)^{p-1}$$

не является полным квадратом.

[wrest]

rightways
Кажись, для составных тоже справедливо?

[rightways]

Незнаю, нужно проверить

[Sonic86]

topic102285.html
Было, но там без ответа

Темы объединены. // maxal

[maxal]

rightways в сообщении #1067679 писал(а):

Найдите все простые числа $p$ для которых

$$p^p-(p-1)^{p-1}$$

- точный квадрат.

Таких простых нет. Доказательство от противного. Предположим, что требуемое простое $p$ существует.

Во-первых, $p=2$ не подходит, поэтому $p$ - нечётное простое.
Пусть $p^p - (p-1)^{p-1} = q^2$. Тогда $p^p = q^2 + ((p-1)^{(p-1)/2})^2$. Отсюда следует, что $p\equiv 1\pmod{4}$, а также что существует решение $r^2\equiv -1\pmod{p}$, и $(p-1)^{(p-1)/2}\equiv r^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$.

Во-вторых, по теореме Ферма--Эйлера, существует разложение $p=x^2+y^2$. При этом $y\equiv rx\pmod{p}$.

В-третьих, так как все разложения $p^k$ в сумму двух квадратов получаются последовательным применением тождества Брахмагупты к разложению $p=x^2+y^2$, то для всякого разложения $p^k = u^2 + v^2$, с точностью до порядка следования имеем $u\equiv \pm 2^{k-1} x^k\pmod{p}$ и $v\equiv \pm 2^{k-1}r x^k\pmod{p}$ (для некоторого выбора знаков) или же $u\equiv v\equiv 0\pmod{p}$.
Более того, существует единственное с точностью до знаков и порядка следования разложение $p^k=u^2+v^2$, в котором $u$ и $v$ не кратны $p$. Это разложение дается столбцами матрицы

$$\begin{bmatrix} x & -y\\ y & x\end{bmatrix}^k.$$

Теперь из разложения $p^p = q^2 + ((p-1)^{(p-1)/2})^2$ и малой теоремы Ферма следует, что $1\equiv (p-1)^{(p-1)/2} \equiv \pm x, \pm rx, \text{или}\ 0 \pmod{p}$. Откуда $x\equiv \pm 1\ \text{или}\ \pm r \pmod{p}$. Поэтому без потери общности можно считать, что $x=1$ и $p = 1+y^2$, где $y\geq 2$ - чётно.

Далее, $(p-1)^{(p-1)/2} = y^{y^2}$ с точностью до знака обязано быть элементом матрицы

$$\begin{bmatrix} 1 & -y\\ y & 1\end{bmatrix}^p.$$

Нетрудно убедиться, что её элементы по модулю $y^2$ сравнимы с $1$ или $\pm py$, то есть не могут быть равны $y^{y^2}$. Полученное противоречие опровергает существование требуемого простого $p$.