Сумма цифр степеней двойки в пятиричной системе счисления

[sergei1961]

Есть ли общий метод нахождения суммы цифр степени числа в заданной системе счисления?

Конкретная задача как пример: найти сумму цифр числа $2^{100}$ в пятеричной системе счисления.

[Shadow]

А в десятичной есть?

[sergei1961]

Не знаю...

[Andrey A]

Чтобы судить о пудинге, надо его съесть. Но, судя по запаху, на четыре делится (кроме единицы и двойки).

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не приведены попытки решения

sergei1961
Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: ошибка модератора. Задача показалась мне легче, чем она есть на самом деле.

[sergei1961]

Предварительные сведения по этой задаче у меня такие, возможно не совсем точные, так как я не специалист. Простого общего решения нет. Общих формул в классических книгах нет. Тем не менее существуют формулы в виде суммы с целыми частями, выведенные недавно энтузиастами, по крайней мере в десятичной системе точно есть.
Меня особенно интересует в пятеричной. Может быть для указанной степени двойки есть прямое решение без всякой теории-приглашение для профессионалов-олимпиадников...

[hippie]

sergei1961 в сообщении #1067471 писал(а):

Конкретная задача как пример: найти сумму цифр числа $2^{100}$ в пятеричной системе счисления.

Если вопрос о практическом способе нахождения суммы цифр, то можно посчитать на компьютере. Для приведённого примера: сумма цифр числа $2^{100}$ в пятеричной системе счисления равна 72. Была посчитана в Maple с помощью программы:

restart: x:=2^100: p:=5: s:=0: while x>0 do: y:=x mod p: s:=s+y: x:=(x-y)/p: od: print(s):

Эта программа считает сумму цифр числа $x$ в системе счисления с основанием $p.$

(Оффтоп)

Сумма цифр числа $2^{1000000}$ в пятеричной системе счисления была посчитана с помощью этой программы на процессоре десятилетней давности за 4 минуты.
(Если интересно, результат 862276.)

[Aritaborian]

hippie, такая постановка вопроса равносильна отрицанию существования самого вопроса. Ясно же, что современный комп справится с этим без особых проблем. Впрочем, вы навели меня на интересную мысль. Wolfram Mathematica на слабеньком не очень новом лаптопе вычислила сумму цифр числа $2^{10000000}$ (обращаем внимание на количество нулей!) в пятиричной системе счисления (она оказалась равна 8612308) за три секунды. «Программа» (хотя разве можно называть программой композицию двух функций) для этого выглядит так:

Total[IntegerDigits[2^10000000, 5]]

Обращу на это внимание участника, интересующегося, какой матпакет стоит выбрать для изучения и использования.

[sergei1961]

Aritaborian -спасибо. Но понятно, что можно на компе. Вопрос-можно ли для относительно небольшого числа $2^{100}$ без компа, рассуждениями, по старинке.