2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Целые функции (ряды с бесконечными радиусами) в C и R ?
Сообщение27.10.2015, 10:51 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Рассмотрим комплексно-значную функцию комплексной переменной $z \in \mathbb{C}$, представимую в виде ряда
$$F(z)=\sum^{\infty}_{n=0} F_n \, z^n \quad |z| < \infty$$
радиус сходимости которого равен бесконечности. (Как я понимаю такие функция называются целыми функцию, см Гельфонд А.О. (1959) стр. 125)

Определим вещественно-значную функцию $f(x)$ вещественной переменной $x=\operatorname{Re}(z)$ формулой $f(x) =\operatorname{Re} (F(x))$. Тогда эта функция представима в виде ряда
$$f(x):=\sum^{\infty}_{n=0} f_n \, x^n \quad |x| < \infty$$
где $f_n=\operatorname{Re}(F_n)$ и радиус сходимости является бесконечным.

1. Правильно ли что такие вещественно-значную функции $f(x)$ всегда имеют бесконечный радиус сходимости ?

Мне представляется это очевидным, в противном случае существовало значение $z=x$, для которого ряд $F(x)$ расходился. Правда меня несколько смущает поведение $\operatorname{Im}(F)(x)$. Или мое беспокойство не на чем не основано? Или есть контрпримеры?

2. Все ли вещественно-значные функции $g(x)$ вещественной переменной $x$, представимые в виде ряда
$$g(x):=\sum^{\infty}_{n=0} g_n \, x^n \quad |x| < \infty$$
с бесконечным радиусом сходимости таковы, что функция комплексной переменной $z \in \mathbb{C}$, определяемая рядом
$$G(z):=\sum^{\infty}_{n=0} g_n \, z^n \quad (\text{то есть} \quad  G_n=g_n \in \mathbb{R})$$
имеет бесконечный радиус сходимости и может рассматриваться как целая функция.

Мне представляется, что это верно, поскольку нет слагаемых $c_{-1}/z$ ( и нет $c_{-n}/z^n, \quad n\in \mathbb{N}$), и тем самым $G(z)$ не имеет особенностей ни в какой конечной части плоскости $\mathbb{C}$.
Смущают различные моменты. Например, Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях (если целая функция $G(z)$ комплексной переменной $z \mathbb{C}$ ограничена, то есть $|G(z)| \leqslant M<\infty$, то тогда $G(z)$ является константой.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые функции (ряды с бесконечными радиусами) в C и R ?
Сообщение27.10.2015, 10:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Divergence в сообщении #1067356 писал(а):
мое беспокойство не на чем не основано?

Не беспокойтесь, докажите, что вы правы. Воспользуйтесь формулой Коши-Адамара.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые функции (ряды с бесконечными радиусами) в C и R ?
Сообщение27.10.2015, 11:06 
Аватара пользователя


12/11/13
337
То есть вcе сомнения отметаются свойствами
$$ \lim_{n \to \infty} |F_n|^{1/n} =0$$
для первого вопроса, и
$$ \lim_{n \to \infty} |g_n|^{1/n} =0$$
для второго вопроса ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые функции (ряды с бесконечными радиусами) в C и R ?
Сообщение27.10.2015, 11:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые функции (ряды с бесконечными радиусами) в C и R ?
Сообщение27.10.2015, 11:28 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Спасибо.
Но червячок от Теоремы Лиувилля остается. Определенная выше
$$G(z):=\sum^{\infty}_{n=0} g_n \, z^n \quad (G_n=g_n \in \mathbb{R}) \quad |z| \infty$$
- целая функция $G(z)$ комплексной переменной $z \in \mathbb{C}$.
Если она будет ограниченной ($|G(z)| \leqslant M<\infty$), то тогда $G(z)$ будет константой.
Константой? Здесь нет ошибки ? "don't worry be happy"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые функции (ряды с бесконечными радиусами) в C и R ?
Сообщение27.10.2015, 11:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Непостоянная целая функция не может быть ограниченной. Более того, если ее модуль на бесконечности растет не быстрее некоторой степени расстояния до нуля, то эта целая функция - многочлен. Все это доказано в любом учебнике по ТФКП или монографии, например, Б.Я. Левин Распределение корней целых функций, ГИТТЛ, Москва, 1956 г., Стр. 10, Теорема 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые функции (ряды с бесконечными радиусами) в C и R ?
Сообщение27.10.2015, 11:54 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Спасибо.
Вспоминаю что-то такое слышал.
Спасибо за точную ссылку.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group