Целые функции (ряды с бесконечными радиусами) в C и R ?

[Divergence]

Рассмотрим комплексно-значную функцию комплексной переменной $z \in \mathbb{C}$, представимую в виде ряда

$$F(z)=\sum^{\infty}_{n=0} F_n \, z^n \quad |z| < \infty$$

радиус сходимости которого равен бесконечности. (Как я понимаю такие функция называются целыми функцию, см Гельфонд А.О. (1959) стр. 125)

Определим вещественно-значную функцию $f(x)$ вещественной переменной $x=\operatorname{Re}(z)$ формулой $f(x) =\operatorname{Re} (F(x))$. Тогда эта функция представима в виде ряда

$$f(x):=\sum^{\infty}_{n=0} f_n \, x^n \quad |x| < \infty$$

где $f_n=\operatorname{Re}(F_n)$ и радиус сходимости является бесконечным.

1. Правильно ли что такие вещественно-значную функции $f(x)$ всегда имеют бесконечный радиус сходимости ?

Мне представляется это очевидным, в противном случае существовало значение $z=x$, для которого ряд $F(x)$ расходился. Правда меня несколько смущает поведение $\operatorname{Im}(F)(x)$. Или мое беспокойство не на чем не основано? Или есть контрпримеры?

2. Все ли вещественно-значные функции $g(x)$ вещественной переменной $x$, представимые в виде ряда

$$g(x):=\sum^{\infty}_{n=0} g_n \, x^n \quad |x| < \infty$$

с бесконечным радиусом сходимости таковы, что функция комплексной переменной $z \in \mathbb{C}$, определяемая рядом

$$G(z):=\sum^{\infty}_{n=0} g_n \, z^n \quad (\text{то есть} \quad G_n=g_n \in \mathbb{R})$$

имеет бесконечный радиус сходимости и может рассматриваться как целая функция.

Мне представляется, что это верно, поскольку нет слагаемых $c_{-1}/z$ ( и нет $c_{-n}/z^n, \quad n\in \mathbb{N}$), и тем самым $G(z)$ не имеет особенностей ни в какой конечной части плоскости $\mathbb{C}$.
Смущают различные моменты. Например, Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях (если целая функция $G(z)$ комплексной переменной $z \mathbb{C}$ ограничена, то есть $|G(z)| \leqslant M<\infty$, то тогда $G(z)$ является константой.)

[Brukvalub]

Divergence в сообщении #1067356 писал(а):

мое беспокойство не на чем не основано?

Не беспокойтесь, докажите, что вы правы. Воспользуйтесь формулой Коши-Адамара.

[Divergence]

То есть вcе сомнения отметаются свойствами

$$ \lim_{n \to \infty} |F_n|^{1/n} =0$$

для первого вопроса, и

$$ \lim_{n \to \infty} |g_n|^{1/n} =0$$

для второго вопроса ?

[Brukvalub]

Да.

[Divergence]

Спасибо.
Но червячок от Теоремы Лиувилля остается. Определенная выше

$$G(z):=\sum^{\infty}_{n=0} g_n \, z^n \quad (G_n=g_n \in \mathbb{R}) \quad |z| \infty$$

- целая функция $G(z)$ комплексной переменной $z \in \mathbb{C}$.
Если она будет ограниченной ($|G(z)| \leqslant M<\infty$), то тогда $G(z)$ будет константой.
Константой? Здесь нет ошибки ? "don't worry be happy"?

[Brukvalub]

Непостоянная целая функция не может быть ограниченной. Более того, если ее модуль на бесконечности растет не быстрее некоторой степени расстояния до нуля, то эта целая функция - многочлен. Все это доказано в любом учебнике по ТФКП или монографии, например, Б.Я. Левин Распределение корней целых функций, ГИТТЛ, Москва, 1956 г., Стр. 10, Теорема 1.

[Divergence]

Спасибо.
Вспоминаю что-то такое слышал.
Спасибо за точную ссылку.