Оъединение клеток

[2serg2]

Здравствуйте,
Верно ли, что любое счетное объединение клеток можно представить в виде счетного объединения непересекающихся клеток?

Мне кажется, что нет, так как пусть
$A = \bigcup\limits_{1}^{\infty} P_k$
тогда
$A = \bigcup\limits_{1}^{\infty}(P_k\setminus\bigcup\limits_{l \ne k}^{}P_l)$
A то что стоит внутри объединения не обязательно является клеткой.
Но этого рассуждения ведь не достаточно?

[Brukvalub]

2serg2 в сообщении #1066554 писал(а):

любое счетное объединение клеток можно представить в виде счетного объединения непересекающихся клеток

Это зависит от того, кто сидит в клетках. О каких клетках идет речь?

[2serg2]

Самые обычные: $P = \{x=(x_1,....,x_n) : x_k \in (a_k;b_k)\}$

[Brukvalub]

Ваши клетки - открытые множества, разность двух пересекающихся клеток не будет открытым множеством, а любое объединение открытых множеств - открыто. Поэтому даже объединение 2-х пересекающихся клеток так представить не удастся.

[2serg2]

Я не точно написал, вместь интервалов могут быть и полуинтервалы и отрезки.
Вообще вопрос в следующем: открытое множество можно предстаить в виде счетного объединения открытых клеток. Можно ли его представить в виде счетного объединения непересекающихся клеток(уже не открытых).

[Brukvalub]

Да, можно. Нужно резать клетки на части, которые тоже будут клетками.

[2serg2]

Но ведь разность клетки и счетного объединения других клеток не всегда есть клетка? Ведь "резать" - вычитать из клетки оъединение других?

[Brukvalub]

Рассмотрите, для начала, два частично наложенных друг на друга прямоугольника и с помощью разрезов превратите их объединение в объединение не пересекающихся клеток. Дальше будет легче.

[2serg2]

В случае коненчого числа клеток все понятно. Я не могу к счетному нормально перейти

[Brukvalub]

Достаточно для каждого множества организовать процесс формирования его кусочков так, чтобы они не пересекались с образованными ранее кусочками множеств с меньшими номерами.

[2serg2]

Понял! Спасибо большое. Я не на том зациклился - всё хотел все клетки вычитать.