Корни многочлена

[Юстас]

Нашел в Кванте простенькую задачку: доказать, что между корнями многочлена $f(x)$ для любого действительного $a$ есть корень многочлена $f'(x)+af(x)$.

[RIP]

Теорема Ролля для $f(x)e^{ax}$.

[Юстас]

Вот тоже простая, но красивая(для тех, кому не спится): найти все функции $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R_{+}}$ такие что для $x\ne y $ выполняется $f(x)f(y)\leq (x-y)^2$.

[bot]

Дык, совсем просто - фиксируем $x$ и переходим к пределу при $y\to x$

[Руст]

К тому же такого рода задачи неоднократно рассматривались на форумах здесь и в Mathlinks. Условие $R_+$ не обязательно. Это верно и для функций $R\to R$.

[Юстас]

Извиняюсь, конечно же условия непрерывности в задаче нет
Я сначала правильно написал, потом зачем-то добавил непрерывность.

[Руст]

Когда нет условия непрерывности, то можно построит даже неинтегрируемую функцию. Я приведу только функцию разрывную в континуме точек.
Для $x=x_0,x_1x_2,...$, $x_0$ целая часть x, определим $f(x)=0$, если нечётный бит после запятой в двоичной записи числа x отличен от 0. Если не отличными от 0 нуля являются только чётныу номера цифр в двоичной записи х определим

$$f(x)=\sum_{i=1}^{\infty }32^{-i}x_i$$

. Ясно, что все значения функции положительны и удовлетворяют требуемому неравенству. Я точно не проверил, вроде можно определить функцию, удовлетворяющую вашему условию, отличному от нуля, на множестве положительной меры, т.е. даже не интегрируемую.

[Kid Kool]

Нетрудно также доказать, что точки, где значение функции не 0, являются локальными максимумами, причем радиус $\epsilon$-окрестности не меньше значения функции.

[Юстас]

$f(x)>0 \ \forall x$, по условию. Поэтому такое рассуждение не проходит.

[Kid Kool]

Рассуждение проходит. Просто в этом случае получается, что локальный максимум в каждой точке.

[Руст]

Вчера нарушил режим и написал глупости.
Пусть $X_n=\{x|f(x)>\frac 1n \},Y_n=\{x|f(x)<-\frac 1n \}$. Очевидно, что две любые точки из $X_n$ или $Y_n$ отстоят на растоянии больше чем 1/n, т.е. эти множества дискретны и имеют мощность, не более чем счётную. Соответственно их объединения так же имеют не более чем счётную мощность. Т.е. Множества точек, где f(x) отлична от нуля не более чем счётно.
При этом для любого счётного множества точек можно определить такую функцию, отличную от нуля на заданном множестве точек. Если f(x) удовлетворяют этому условию, а g(x) произвольная функция со значениями $0\le g(x)\le 1$, то функция $f(x)g(x)$ так же удовлетворяет этому условию. Это полностью определяет множество таких функций.
В качестве примера такой функции приведу $f(x)=0$ в иррациональных точках и $f(\frac pq )=\frac{1}{q^n}.$