2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Прошу проверить: общее уравнения кривой 2 порядка -> канон
Сообщение17.10.2015, 18:35 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
Здравствуйте!
Проверьте, пожалуйста, правильность приведения общего уравнения кривой 2-го порядка к каноническому виду. Потому что, мне кажется, что приведение я сделал не верно. Но ошибок не вижу.

$3x^2+2xy+3y^2-12x-4y+1=0$

1) $\tg2\alpha=\frac{2B}{A-C}=\frac{4}{0} \Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{4}$

2) $\sin\alpha=\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$

3) $\left\{
\begin{array}{lcl}
 x=x_1\cos\alpha-y_1\sin\alpha \\
 y=x_1\sin\alpha+y_1\cos\alpha \\
\end{array}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{lcl}
 x=\frac{\sqrt{2}}{2}(x_1-y_1) \\
 y=\frac{\sqrt{2}}{2}(x_1+y_1) \\
\end{array}
\right
$

4) Подставим в исходное уравнение найденные $x$ и $y$.
$4x_1^2+2y_1^2-8\sqrt{2}x_1+4\sqrt{2}y_1+1=0$

5) Выделяем полные квадраты.
$4(x_1-\sqrt{2})^2+2(y_1+\sqrt{2})^2-11=0$

Отсюда уже легко получить каноническое уравнения эллипса.

Скажите, пожалуйста, правильно ли я выполнил все шаги?

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошу проверить: общее уравнения кривой 2 порядка -> канон
Сообщение17.10.2015, 18:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Atom001 в сообщении #1063727 писал(а):
Скажите, пожалуйста, правильно ли я выполнил все шаги?

Вы хотите, чтобы мы арифметику проверили? Хм...
На уровне идеи все верно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошу проверить: общее уравнения кривой 2 порядка -> канон
Сообщение17.10.2015, 19:13 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
provincialka в сообщении #1063731 писал(а):
Вы хотите, чтобы мы арифметику проверили?

Ну зачем же? Я ценю ваше время.

provincialka в сообщении #1063731 писал(а):
На уровне идеи все верно...

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошу проверить: общее уравнения кривой 2 порядка -> канон
Сообщение23.10.2015, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Проверка такая:
- в пункте 3 решите уравнения относительно $x_1,y_1$;
- в окончательном ответе подставьте эти выражения, и если у вас получится исходное уравнение - всё правильно.

Задания такой примерно сложности надо проверять "обратным ходом", подстановкой ответа, потому что по ходу дела легко запутаться в ерунде, типа знаков, и получить ответ с арифметическими ошибками.

Задания ещё большей сложности - надо проверять "обратным ходом" несколько раз на разных шагах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошу проверить: общее уравнения кривой 2 порядка -> канон
Сообщение23.10.2015, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Можно инварианты посчитать...

(Оффтоп)

Проверила $\Delta$, $D$ и $I$-- совпали!

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошу проверить: общее уравнения кривой 2 порядка -> канон
Сообщение24.10.2015, 07:33 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
Munin, ясно. Спасибо!

provincialka, то есть задание выполнено верно? У преподавателя на этот счёт оказалась несколько иная точка зрения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошу проверить: общее уравнения кривой 2 порядка -> канон
Сообщение24.10.2015, 07:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ну... там еще 4-ый инвариант есть ;-) А чем он мотивировал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошу проверить: общее уравнения кривой 2 порядка -> канон
Сообщение24.10.2015, 08:00 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
provincialka в сообщении #1066037 писал(а):
Ну... там еще 4-ый инвариант есть ;-)

:-) Видимо он-то и даст сбой.

provincialka в сообщении #1066037 писал(а):
А чем он мотивировал?

Я ещё особо не вникал в замечания. Что-то там с пересечением эллипса с осями координат. Мол, где-то эллипс пересекает оси координат, но делать этого он не должен. Вроде так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошу проверить: общее уравнения кривой 2 порядка -> канон
Сообщение24.10.2015, 08:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Хм... окончательные оси? Может вы последнее уравнение неверно записали? Может, сдвиг не сделали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошу проверить: общее уравнения кривой 2 порядка -> канон
Сообщение24.10.2015, 08:10 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
provincialka в сообщении #1066040 писал(а):
Может вы последнее уравнение неверно записали? Может, сдвиг не сделали?

Возможно. У меня сейчас нет доступа к моей работе, а по памяти я не смогу восстановить решение - придётся заново прорешивать. Поэтому проверить не могу.
Да и потом, я не думаю, что преподаватель ошибся. Хотя он сказал, что расчёты мои не проверял. Он сделал свою быструю проверку, используя начальное и конечное уравнения, и пришёл к выводу, что где-то мой эллипс пересекает какие-то оси, а эллипс из задания их не пересекает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошу проверить: общее уравнения кривой 2 порядка -> канон
Сообщение24.10.2015, 10:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Канонический эллипс всегда пересекает свои, канонические, оси. Чтобы проверить пересечение "исходных" осей, нужно использовать уравнения перехода от одних к другим. Может, вы ошиблись при записи этих преобразований? Потому что инварианты не врут!

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошу проверить: общее уравнения кривой 2 порядка -> канон
Сообщение24.10.2015, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
provincialka в сообщении #1065810 писал(а):
Можно инварианты посчитать...

Считать инварианты - хорошая мысль, иногда даёт экономию. Но это менее общий способ самопроверки, чем "обратный ход". Тут надо знать, какие инварианты есть в каждой конкретной задаче. Иногда их может и не быть, или они могут быть такими, что не дадут экономии усилий.

Ну и конечно, инварианты надо считать не для промежуточного результата, а для конечного. Если вы проверили промежуточный результат, это ещё не значит, что вы не наделали ошибок во второй части выкладок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошу проверить: общее уравнения кривой 2 порядка -> канон
Сообщение24.10.2015, 16:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Munin
Те инварианты, которые я упомянула подходят только для "поворота" и "сдвига осей". Дальнейшие преобразования (деление равенства на 11) их не сохранят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошу проверить: общее уравнения кривой 2 порядка -> канон
Сообщение24.10.2015, 17:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Хм. Тогда, не такие уж они инварианты :-) Зато инвариантом должно быть какое-то их отношение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group