2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Группа симплициальных гомологий и число компонент связности
Сообщение24.10.2015, 07:47 
Аватара пользователя


04/06/14
627
Докажите, что для любого симплициального комплекса $K$ группа $H_0(K)$ есть свободная абелева группа, ранг которой совпадает с числом компонент связности комплекса $K$.
Приводится решение этой задачи.
Поскольку симплексов отрицательной размерности нет, группа циклов $A_0(K)$ совпадает со всей группой цепей. При этом любые две вершины, соединенные ребром, дают гомологичные циклы. Выбрав в каждой компоненте связности по одной вершине, мы получим систему свободных образующих группы $H_0$.
1. А что если мы не будем в одной из компонент связности брать вершину?
2. Почему в любой такой компоненте всегда существует вершина?
3. Непонятно, почему после этого появляется система свободных образующих.
4. Чем обоснована сама возможность выбора вершин и что под этим понимается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа симплициальных гомологий и число компонент связности
Сообщение24.10.2015, 10:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
maximk в сообщении #1066034 писал(а):
1. А что если мы не будем в одной из компонент связности брать вершину?
Тогда мы не получим всю $H_0$. Тут просто забыли сказать, что любые две вершины из различных компонент связности негомологичны (что тоже очевидно, потому что любая цепь лежат внутри какой-то компоненты связности). Это, наверное, где-то выше написано, что несвязное объединение двух комплексов соответствует прямой сумме групп гомологий.

maximk в сообщении #1066034 писал(а):
2. Почему в любой такой компоненте всегда существует вершина?
Потому что компонента связности симплициального комплекса - симплициальный комплекс. Поэтому в ней обязательно есть вершины и любые две вершины соединены 1-цепью.

maximk в сообщении #1066034 писал(а):
3. Непонятно, почему после этого появляется система свободных образующих.
Любая линейная комбинация вершин гомологична линейной комбинации выбранных вершин. Любая линейная комбинация выбранных вершин не гомологична 0, потому что они из разных компонент связности.

maximk в сообщении #1066034 писал(а):
4. Чем обоснована сама возможность выбора вершин и что под этим понимается?
Комплексы могут же быть с бесконечным количеством вершин? Тогда аксиомой выбора. Понимается, что если у нас есть множество наборов вершин, то мы можем из каждого взять по одному.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа симплициальных гомологий и число компонент связности
Сообщение24.10.2015, 11:07 
Аватара пользователя


04/06/14
627
Xaositect в сообщении #1066084 писал(а):
maximk в сообщении #1066034 писал(а):
4. Чем обоснована сама возможность выбора вершин и что под этим понимается?
Комплексы могут же быть с бесконечным количеством вершин? Тогда аксиомой выбора. Понимается, что если у нас есть множество наборов вершин, то мы можем из каждого взять по одному.

Спасибо. А если комплексы с конечным числом вершин?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group