Прошу проверить: общее уравнения кривой 2 порядка -> канон

[Atom001]

Здравствуйте!
Проверьте, пожалуйста, правильность приведения общего уравнения кривой 2-го порядка к каноническому виду. Потому что, мне кажется, что приведение я сделал не верно. Но ошибок не вижу.

$3x^2+2xy+3y^2-12x-4y+1=0$

1) $\tg2\alpha=\frac{2B}{A-C}=\frac{4}{0} \Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{4}$

2) $\sin\alpha=\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$

3) $\left\{ \begin{array}{lcl} x=x_1\cos\alpha-y_1\sin\alpha \\ y=x_1\sin\alpha+y_1\cos\alpha \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} x=\frac{\sqrt{2}}{2}(x_1-y_1) \\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}(x_1+y_1) \\ \end{array} \right $

4) Подставим в исходное уравнение найденные $x$ и $y$.
$4x_1^2+2y_1^2-8\sqrt{2}x_1+4\sqrt{2}y_1+1=0$

5) Выделяем полные квадраты.
$4(x_1-\sqrt{2})^2+2(y_1+\sqrt{2})^2-11=0$

Отсюда уже легко получить каноническое уравнения эллипса.

Скажите, пожалуйста, правильно ли я выполнил все шаги?

[provincialka]

Atom001 в сообщении #1063727 писал(а):

Скажите, пожалуйста, правильно ли я выполнил все шаги?

Вы хотите, чтобы мы арифметику проверили? Хм...
На уровне идеи все верно...

[Atom001]

provincialka в сообщении #1063731 писал(а):

Вы хотите, чтобы мы арифметику проверили?

Ну зачем же? Я ценю ваше время.

provincialka в сообщении #1063731 писал(а):

На уровне идеи все верно...

Спасибо!

[Munin]

Проверка такая:
- в пункте 3 решите уравнения относительно $x_1,y_1$;
- в окончательном ответе подставьте эти выражения, и если у вас получится исходное уравнение - всё правильно.

Задания такой примерно сложности надо проверять "обратным ходом", подстановкой ответа, потому что по ходу дела легко запутаться в ерунде, типа знаков, и получить ответ с арифметическими ошибками.

Задания ещё большей сложности - надо проверять "обратным ходом" несколько раз на разных шагах.

[provincialka]

Можно инварианты посчитать...

(Оффтоп)

Проверила $\Delta$, $D$ и $I$-- совпали!

[Atom001]

Munin, ясно. Спасибо!

provincialka, то есть задание выполнено верно? У преподавателя на этот счёт оказалась несколько иная точка зрения.

[provincialka]

Ну... там еще 4-ый инвариант есть А чем он мотивировал?

[Atom001]

provincialka в сообщении #1066037 писал(а):

Ну... там еще 4-ый инвариант есть

Видимо он-то и даст сбой.

provincialka в сообщении #1066037 писал(а):

А чем он мотивировал?

Я ещё особо не вникал в замечания. Что-то там с пересечением эллипса с осями координат. Мол, где-то эллипс пересекает оси координат, но делать этого он не должен. Вроде так.

[provincialka]

Хм... окончательные оси? Может вы последнее уравнение неверно записали? Может, сдвиг не сделали?

[Atom001]

provincialka в сообщении #1066040 писал(а):

Может вы последнее уравнение неверно записали? Может, сдвиг не сделали?

Возможно. У меня сейчас нет доступа к моей работе, а по памяти я не смогу восстановить решение - придётся заново прорешивать. Поэтому проверить не могу.
Да и потом, я не думаю, что преподаватель ошибся. Хотя он сказал, что расчёты мои не проверял. Он сделал свою быструю проверку, используя начальное и конечное уравнения, и пришёл к выводу, что где-то мой эллипс пересекает какие-то оси, а эллипс из задания их не пересекает.

[provincialka]

Канонический эллипс всегда пересекает свои, канонические, оси. Чтобы проверить пересечение "исходных" осей, нужно использовать уравнения перехода от одних к другим. Может, вы ошиблись при записи этих преобразований? Потому что инварианты не врут!

[Munin]

provincialka в сообщении #1065810 писал(а):

Можно инварианты посчитать...

Считать инварианты - хорошая мысль, иногда даёт экономию. Но это менее общий способ самопроверки, чем "обратный ход". Тут надо знать, какие инварианты есть в каждой конкретной задаче. Иногда их может и не быть, или они могут быть такими, что не дадут экономии усилий.

Ну и конечно, инварианты надо считать не для промежуточного результата, а для конечного. Если вы проверили промежуточный результат, это ещё не значит, что вы не наделали ошибок во второй части выкладок.

[provincialka]

Munin
Те инварианты, которые я упомянула подходят только для "поворота" и "сдвига осей". Дальнейшие преобразования (деление равенства на 11) их не сохранят.

[Munin]

Хм. Тогда, не такие уж они инварианты :-) Зато инвариантом должно быть какое-то их отношение.